Question

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень x^10 +(a-3x)^5 +x^2 +a=3x

Answer 1

Ответ:

$a \in (-\infty; \ 2.25)$

Объяснение:

$x^{10}+(a-3x)^5+x^2+a=3x \\ x^{10}+x^2=-(a-3x)^5+3x-a \\ x^{10}+x^2=(a-3x)^5+(3x-a)$

Заметим, что левая и правая часть имеет общую структуру в виде функции:

$f(t)=t^5+t$

исследуем эту функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(t)=5t^4+1$

так как t⁴ не может принимать отрицательные значения, (то есть t⁴≥0 при любых действительных t) значит 5t⁴+1>0 при любых действительных t

если f'(t)>0, то f(t) - возрастающая функция на всей координатной оси.

Для монотонных функций справедливо:

$f(a)=f(b) \ \Leftrightarrow \ a=b$

в нашем случае:

$f(x^2)=(x^2)^5+x^2=x^{10}+x^2 \\ \\ f(3x-a)=(3x-a)^5+3x-a \\ \\ f(x^2)=f(3x-a) \ \Leftrightarrow \ x^2=3x-a \\ \\ x^2-3x+a=0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант не отрицателен

$D\geq 0 \\ (-3)^2-4*1*a\geq 0 \\ 9-4a\geq 0 \\ 4a\leq 9 \\ a\leq 9/4 \\ a\leq 2.25$