Question

Высота BD равнобедренного треугольника ABC(AB=BC) делит его биссектрису AE на два отрезка, длины которых относятся как 23:13. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что BD=12 см.

Answer 1

Пусть О — точка пересечения высоты BD и биссектрисы AE.

AO : OE = 23 : 13, BD = 12 см. По теореме Менелая для треугольника АЕС имеем $\dfrac{CD}{AD}\cdot \dfrac{AO}{OE}\cdot \dfrac{BE}{BC}=1$. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то BD является биссектрисой и медианой, т.е. AD = DC, тогда $\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{BE}{BC}=1$ (1).

По свойству биссектрисы: $\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{AC}{AB}+1$.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC:

$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{AC}{2}\Big)^2+12^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AC^2+576}$

Подставляем в равенство (1), получим уравнение относительно АС.

$\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{AC}{AB}+1}=1~\Rightarrow~\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{AB}{AC+AB}=1~\Rightarrow~ \dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{\sqrt{AC^2+576}}{2AC+\sqrt{AC^2+576}}=1$

$23\sqrt{AC^2+576}=13\Big(2AC+\sqrt{AC^2+576}\Big)$

Решаете как иррациональное уравнение, возводите два раза обе части уравнения и вы должны придти к биквадратному уравнению , получите $AC=10$ см.

Площадь треугольника: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60$ см²

Ответ: 60 см².