Question

$log_{5} ((x-3)(x^{2} + 2 )) \geq log_{5}(x^{2} -7x +12) + log_5 (5-x)$

Как решается такое неравенство? Я попробовал решить сам и получил от -бесконечности до трех (не включительно). Правильного ответа у меня нет, но я проверил уравнение на одном сайте, там выдало от двух до трех. Чем больше подробностей тем лучше

Answer 1

Ответ:

$(4;\;5)$

Пошаговое объяснение:

$log_5((x-3)(x^2+2))\ge log_5(x^2-7x+12)+log_5(5-x)$

ОДЗ:

$(x-3)(x^2+2)>0\\x\in(3;\;+\infty)\\\\x^2-7x+12>0\\x^2-3x-4x+12>0\\x(x-3)-4(x-3)>0\\(x-3)(x-4)>0\\x\in(-\infty;\;3)\cup(4;\;+\infty)\\\\5-x>0\\x<5\\\\=>x\in(4;\;5)$

Таким образом, вашего ответа уже быть не может!

Продолжим решение:

$log_5((x-3)(x^2+2))\ge log_5(x^2-7x+12)+log_5(5-x)\\log_5((x-3)(x^2+2))\ge log_5((x^2-7x+12)(5-x))\\a=5>0\\(x-3)(x^2+2)\ge(x^2-7x+12)(5-x)\\x^3+2x-3x^2-6\ge 5x^2-x^3-35+7x^2+60-12x\\2x^3-15x^2+49x-66\ge0\\2x^3-6x^2-9x^2+27x+22x-66\ge0\\2x^2(x-3)-9x(x-3)+22(x-3)\ge 0\\(x-3)(2x^2-9x+22)\ge0$

Т.к. $2x^2-9x+22>0$, то:

$x-3\ge0\\x\ge3$

С учетом ОДЗ:

$x\in(4;\;5)$

Неравенство решено!

Answer 2

㏒₅((3-х)*(х²+2))≥㏒₅(х²-7х+12)+㏒₅(5-х)

ОДЗ

3-х>0⇒x<3

х²-7х+12>0⇒(x-3)(x-4)>0 /корни левой части по Виета нашел х=3, х=4/

___3_____4______

+            -          +               ⇒ х∈(-∞;3)∪(4;+∞)      

5-x>0⇒х∈(-∞;5),  окончательно ОДЗ х∈(-∞;3)

Т.к. 5>1, то логарифмическая функция возрастает, и

(3-х)*(х²+2)≥(х-3)(х-4)(5-х)⇒(3-х)*(х²+2)-(х-3)(х-4)(5-х)≥0

(3-х)*(х²+2)+(3-х)(х-4)(5-х)≥0

(3-х)*(х²+2+(х-4)(5-х))≥0; (3-х)*(х²+2+9х-х²-20)≥0;

(3-х)*(9х-18)≥0; решим неравенство методом интервалов.

х=3; х=2.

_____2_____3___

  -              +          -

х∈[2;3) с учетом одз, получим ответ х∈[2;3)