Question

Доказать 1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/3n+3>1/(2n+1)+1/(2n+2) n - натуральное

Answer 1

Сильные духом и имеющие некоторый запас времени могут показать, что

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}-\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}=\dfrac{9n^2+11n+4}{6(n+1)(2n+1)(3n+1)(3n+2)}$

Очевидно, эта разность положительна.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Докажем и другим способом. Заметим, что для любого положительного x и для любого положительного 0 < a < x верно следующее:

$\dfrac1{x-a}+\dfrac1{x+a}>\dfrac2x$

(Это можно проверить путем домножения на $x(x^2-a^2)$, получится $2x^2>2x^2-2a^2$)

Тогда

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}=\dfrac13\left(\dfrac1{n+\frac12-\frac16}+\dfrac1{n+\frac12-\frac16}\right)>\dfrac{2/3}{n+\frac12}$

Разность, написанная выше, строго больше, чем

$\dfrac{2/3}{n+\frac12}+\dfrac{1/3}{n+1}-\dfrac1{2n+1}-\dfrac{1/2}{n+1}=\dfrac{1/6}{n+\frac12}-\dfrac{1/6}{n+1}$

Так как функция y = 1/x убывает для x > 0, то последнее выражение строго положительно.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

По неравенству о средних

$\left(\dfrac{\dfrac1{n+\frac13}+\dfrac1{n+\frac23}+\dfrac1{n+1}}3\right)^{-1}\leqslant\dfrac{\left(n+\frac13\right)+\left(n+\frac23\right)+(n+1)}3=n+\frac23$

откуда

$\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}=\dfrac{\dfrac1{n+\frac13}+\dfrac1{n+\frac23}+\dfrac1{n+1}}3\geqslant\dfrac1{n+\frac23}$

Тогда

$\left(\dfrac1{3n+1}+\dfrac1{3n+2}+\dfrac1{3n+3}\right)-\left(\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}\right)\geqslant\dfrac1{n+\frac23}-\dfrac{1/2}{n+\frac12}-\\-\dfrac{1/2}{n+1}=\dfrac{(n+\frac12)(n+1)-(n+\frac34)(n+\frac23)}{(n+\frac23)(n+\frac12)(n+1)}$

После раскрытия скобок в числителе получится n/12, и вся разность по-прежнему положительна.