Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями1) y=–3x²–2, x=1, x=2, y=–1 помогите плиз

Answer 1

Решение:

Для решения подобных задач обычно применяют формулу Ньютона-Лейбница:

          $\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

• В данном случае $f(x) = (-1) - (-3x^2 - 2) = 3x^2+1$ (вычитаем именно из $y=-1$, так как эта функция находится выше, чем $y=-3x^2-2$, на изучаемом промежутке; как видно из приложенного чертежа).

Прямые $x=1$ и $x=2$ дают нижний и верхний пределы $a=1$ и $b=2$ соответственно.

Зная, что первообразная от $f(x)$ равна

          $F(x) = \displaystyle 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 1 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} = x^3+x$,

можно (в конце концов!) считать интеграл:

$\boxed {\displaystyle \int\limits^2_1 { \Big ( 3x^2+1 \Big )} \, dx = \Big ( x^3+x \Big ) \Big | ^2_1 = (2^3 + 2) - (1^3 + 1) = 10 - 2 = 8}$

Задача решена!

Ответ: 8 .

Answer 2

Ответ:

$y=-3x^2-2\ ,\ \ y=-1\ ,\ \ x=1\ ,\ \ x=2\\\\S=\int\limits^{b}_{a}\, \Big(y_1(x)-y_2(x)\Big)\, dx=\int\limits^2_1\, \Big(-1-(-3x^2-2)\Big)\, dx=\int\limits^2_1\, (3x^2+1)\, dx=\\\\\\=(x^3+x)\Big|_1^2=(8+2)-(1+1)=10-2=8$