• Предмет: Алгебра
  • Автор: vityamath
  • Вопрос задан 1 год назад

решите..........................................

Приложения:

Ответы

Ответ дал: MrSolution
1

Ответ:

(6;\;5)

Объяснение:

x^3-y^3=xy+61\\(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy-61=0

Введем целый коэффициент n такой, что y=x-n.

Выполним подстановку:

n(x^2+x(x-n)+(x-n)^2)-x(x-n)-61=0

Упростим выражение:

(3n-1)x^2-n(3n-1)x-(61-n^3)=0

Решим уравнение относительно x:

D=n^2(3n-1)^2+4(61-n^3)(3n-1)=(1-3n)(n^3+n^2-244)

Тогда корни равны:

x_{1,2}=\dfrac{(3n-1)n\pm\sqrt{(1-3n)(n^3+n^2-244)}}{2(3n-1)}

Очевидно, что уравнение имеет корни только, если

(1-3n)(n^3+n^2-244)\ge 0

Найдем все такие целые n, при котором неравенство выполняется.

Решать будем так:

Заметим, что n^3+n^2-244=0 не имеет целых корней. Однако он больше 0, если n\ge6 и меньше 0, если n\le 5 (так как решаем в целых числах нам этого достаточно).

Если n^3+n^2-244>0, то для того, чтобы неравенство выполнялось, 1-3n\ge 0, значит n\le\dfrac{1}{3}, а так как решаем в целых числах, то можно написать n\le 0,\;n\in Z. Найдем пересечение с n\ge 6,\;n\in Z и сделаем вывод, что такой случай невозможен.

Если n^3+n-244<0, то 1-3n\le0, а значит n\ge\dfrac{1}{3}, т.е. в нашем случае n\ge 1,\;n\in Z. Найдем пересечение и сделаем вывод, что 1\le n\le 5, n\in Z.

Для каждого n найдем x и проверим будет ли он натуральным числом:

При n=1:

x_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{(1-3)(1^3+1^2-244)}}{2(3-1)}\\x_1=6\\x_2=-5

Здесь подходит только x_1=6.

При этом x y=6-1=5.

Получили пару чисел (6;\;5).

При n=2:

x_{1,2}=\dfrac{(3\times2-1)\times2\pm\sqrt{(1-3\times2)(2^3+2^2-244)}}{2(3\times2-1)}\\x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{290}}{5}

Ни один x не подходит.

При всех остальных n ни один x также не подходит.

Поэтому ответом будет являться (6;\;5).

Задание выполнено!


mathgenius: Видно, что x^3-y^3>0 при натуральных x и y.или x>y. Можно сделать замену: x-y=a>0 ; xy=b>0 a*(a^2+3b) = b+61 ;
a^3+3ab-b=61 a^3 +b*(3a-1) = 61 b*(3a-1) >0 . То есть возможно только: a=1;2;3 , дальше небольшой перебор.
Ответ дал: Аноним
2

Ответ (6;5)

Для решение уравнения предлагаю следующий способ.

Приложения:
Вас заинтересует