Question

Задания по Математике, вступительные в 10 класс. (Прикреплено фото) Даже если не знаете решения, напишите тему/раздел что изучить и где смотреть. Пожалуйста, помогите, чем больше информации дадите, тем лучше. Спасибо!!!
Предприятие выпускает продукцию двух разновидностей. Каждый вид продукции проходит за один производственный цикл обработку не более, чем на трёх станках. При обработке 1 тонны продукции вида I первый станок не используется, а второй и третий станки используются в течение 1 часа каждый. При обработке 1 тонны продукции вида II первый и третий станки используются в течение 1 часа каждый, а второй станок используется в течение 4 часов. Время работы станков ограничено и не может превышать для первого станка 7 часов, для второго — 29 часов, для третьего — 11 часов за один производственный цикл. При реализации 1 тонны продукции вида I предприятие получает чистую прибыль в 20 тысяч рублей, а при реализации 1 тонны продукции вида II —– в 50 тысяч рублей.

Answer 1

Ответ:

А. 5 т продукции вида I, 6 т продукции вида II; прибыль — 400000 рублей

Б. I : II = 5 : 2

Пошаговое объяснение:

А. Пусть выпускается x тонн продукции вида I и y тонн продукции вида II. Тогда прибыль составит S(x, y) = 2x + 5y (в десятках тысяч рублей). Данную величину необходимо максимизировать. На x и y накладываются ограничения из-за времени работы станков: первый используется y часов, второй — x + 4y часов, третий — x + y часов. Тогда получаем

$\begin{cases}y\leq 7,\\x+4y\leq 29,\\x+y\leq 11\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\leq 7,\\y\leq \dfrac{29-x}{4},\\y\leq 11-x\end{cases}$

Изобразим данную область на графике. Искомой областью будет пересечение областей в I четверти (в силу неотрицательности x, y). Очевидно, функция S(x, y) максимальна, если x, y лежат на границе данной области (необходимое условие, так как, взяв любую другую точку, мы уменьшим x или y, тем самым уменьшим значение S). Найдём граничные точки, составляя и решая системы уравнений, соответствующие неравенствам системы. Получим A(0; 7), B(1; 7), C(5; 6), D(11; 0).

Если точка лежит на прямой y = 7, то S(x, 7) = 2x + 35 — возрастающая функция, максимум достигается в точке B, S(1, 7) = 37.

Если точка лежит на прямой $y=\dfrac{29-x}{4}$, то $S(x, \dfrac{29-x}{4})=\dfrac{3x+145}{4}$ — также возрастающая функция, максимум достигается в точке C, S(5, 6) = 40.

Если точка лежит на прямой y = 11 - x, то S(x, 11-x) = -3x + 55 — убывающая функция.

Таким образом, максимум достигается при x = 5, y = 6, прибыль составит 400000 рублей.

Б. Например, план придётся поменять, если чистые прибыли соотносятся как 5 : 2. Тогда S(x, y) = 5x + 2y. При прежнем плане S(5, 6) = 37, а уже при x = 11, y = 0 S(11, 0) = 55 > 37.