Дан параллелограмм со сторонами 10 и 14, и с углом 150◦ . Найдите площадь прямоугольника, полученного в результате взаимных пересечений биссектрис всех углов этого параллелограмма.
Ответы
Ответ:
4
Объяснение:
Приложил рисунок.
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AB = DC = 10 и AD = BC = 14
Сумма углов параллелограмма прилежащих к одной стороне равна 180° (по свойству параллельных прямых). Т.е. ∠ADC + ∠DCB = 180°
Значит ∠DCB = 180° - ∠ADC = 180° - 150° = 30°
По условию CJ - биссектриса, следовательно
Рассмотрим ΔJDC. Сумма углов любого треугольника равна 180°
Т.е. ∠JDC + ∠DCJ + ∠CJD = 180°
Следовательно ∠CJD = 180° - ∠JDC - ∠DCJ = 180° - 150° - 15° = 15°
Получается ∠CJD = ∠DCJ следовательно ΔJCD - равнобедренный по двум углам с основанием JC.
Из этого следует, что JD = DC = 10 как боковые стороны равнобедренного треугольника.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Значит ∠ABC = ∠ADC = 150° и ∠BAD = ∠DCB = 30°
По условию BK - биссектриса, следовательно
Рассмотрим ΔABK. Сумма углов любого треугольника равна 180°
Т.е. ∠ABK + ∠AKB+ ∠KAB = 180°
Следовательно ∠AKB = 180° - ∠ABK - ∠KAB = 180° - 75° - 30° = 75°
Получается ∠ABK = ∠AKB следовательно ABK- равнобедренный по двум углам с основанием BK.
Из этого следует, что AB = AK = 10 как боковые стороны равнобедренного треугольника.
AD = AK + KD значит KD = AD - AK = 14 - 10 = 4
AD = AJ + JD значит AJ = AD - JD = 14 - 10 = 4
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.
и
Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны.
∠JID = 90°, значит ΔJID прямоугольный.
В ΔJID следовательно JI = JD*sin(∠JDI) = 10*sin(75°)
∠AKF = ∠JDI = 75° как соответственные при
В ΔAFK следовательно KF = AK*cos(∠AKF) = 10*cos(75°)
Рассмотрим ∠IJD
По теореме Фалеcа о пропорциональных отрезках
Значит
Аналогично получаем
Известно, что , значит
![](https://st.uroker.com/files/34c/34c8dd8d22f62591b717b3ceb31e7598.png)