Question

Дан параллелограмм со сторонами 10 и 14, и с углом 150◦ . Найдите площадь прямоугольника, полученного в результате взаимных пересечений биссектрис всех углов этого параллелограмма.

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

Приложил рисунок.

Противоположные стороны параллелограмма  равны, поэтому  AB = DC = 10 и AD = BC = 14

Сумма углов параллелограмма прилежащих к одной стороне равна 180° (по свойству параллельных прямых). Т.е. ∠ADC + ∠DCB = 180°

Значит ∠DCB = 180° - ∠ADC = 180° - 150° = 30°

По условию CJ - биссектриса, следовательно $\angle DCJ = \frac{\angle DCB}{2} = 15 ^\circ$

Рассмотрим ΔJDC. Сумма углов любого треугольника равна 180°

Т.е. ∠JDC + ∠DCJ + ∠CJD = 180°

Следовательно ∠CJD =  180° - ∠JDC - ∠DCJ = 180° - 150° - 15° = 15°

Получается ∠CJD = ∠DCJ следовательно ΔJCD - равнобедренный по двум углам с основанием JC.

Из этого следует, что JD = DC = 10 как боковые стороны равнобедренного треугольника.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Значит ∠ABC = ∠ADC = 150° и ∠BAD = ∠DCB = 30°

По условию BK - биссектриса, следовательно $\angle ABK = \frac{\angle ABC}{2} = 75 ^\circ$

Рассмотрим ΔABK. Сумма углов любого треугольника равна 180°

Т.е. ∠ABK + ∠AKB+ ∠KAB = 180°

Следовательно ∠AKB =  180° - ∠ABK - ∠KAB = 180° - 75° - 30° = 75°

Получается ∠ABK = ∠AKB следовательно ABK- равнобедренный по двум углам с основанием BK.

Из этого следует, что AB = AK = 10 как боковые стороны равнобедренного треугольника.

AD = AK + KD значит KD = AD - AK = 14 - 10 = 4

AD = AJ + JD значит AJ = AD - JD = 14 - 10 = 4

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

$BK \parallel DG$ и $AG \parallel CJ$

Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны.

∠JID = 90°, значит ΔJID прямоугольный.

В ΔJID $sin(\angle JDI)=\frac{JI}{JD}$  следовательно JI = JD*sin(∠JDI) = 10*sin(75°)

∠AKF = ∠JDI = 75° как соответственные при $BK \parallel DG$

В ΔAFK $cos(\angle AKF)=\frac{KF}{AK}$  следовательно KF = AK*cos(∠AKF) = 10*cos(75°)

Рассмотрим ∠IJD

$HK \parallel ID$ По теореме Фалеcа о пропорциональных отрезках $\frac{JI}{HI} = \frac{JD}{KD}$

Значит $HI = \frac{JI*KD}{JD} = \frac{10*sin(75^\circ) * 4}{10} = 4*sin(75^\circ)$

Аналогично получаем  $HF = 4*cos(75^\circ)$

$S_{FGIH} = FH * HI = 4*cos(75^\circ) * 4*sin(75^\circ) = 4 *2 * 2 * sin(75^\circ) * cos(75^\circ)$

Известно, что $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$, значит

$S_{FGIH} = 4 * 2 * sin(2 * 75^\circ) = 4 * 2 * sin(150^\circ)= 4 * 2 * 0.5 = 4$