Несколько обжор сидят за круглым столом и едят пирожки из корзины с 99 пирожками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше, чем его сосед справа. Какое наименьшее количество пирожков могло остаться? даю 10 баллов
Ответы
Оценка.
Предположим, что есть обжора (обжора А), съевший нечетное число пирожков. Тогда он не мог съесть вдвое больше, чем его сосед справа, значит, съел на 6 меньше. Получаем, что сосед справа тоже съел нечетное число пирожков. Повторяя эти рассуждения, получим убывающую арифметическую прогрессию количества съеденных пирожков с разностью 6. При этом мы начинаем двигаться от обжоры А по кругу, пока не дойдем до него снова. Получим, что обжора А съел меньше обжоры А (прогрессия строго убывает). Противоречие. Значит, обжоры, съевшего нечетное количество пирожков нет. Все съели четное количество. Следовательно, все пирожки не могли быть съедены. Количество оставшихся пирожков не менее 1.
Пример.
Покажем, что один пирожок мог остаться (то есть было съедено 98 пирожков). Рассмотрим обжору Б. Пусть он съел 2 пирожка. Следующий справа съел 8, следующий съел 4. Тогда в этой тройке всего съедено 14 пирожков. Поставим 7 таких троек друг за другом: (2, 8, 4), (2, 8, 4), ..., (2, 8, 4). Всего съедено 14*7=98 пирожков, то есть один остался. Легко видеть, что предъявленная расстановка отвечает требованиям условия.
Ответ: 1 пирожок.