Question

Помогите пожалуйста решить! Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 2cos3x+13cos2x+26cosx

Answer 1

$y=2\cos 3x+13\cos 2x+26\cos x=2\big(4\cos ^3x-3\cos x\big)+13\big(2\cos^2x-1\big)+\\ \\ +26\cos x=8\cos^3x+26\cos^2x+20\cos x-13$

Обозначим $\cos x=t,~ |t|\leq 1$. Исследуем функцию $y(t)=8t^3+26t^2+20t-13$ на наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;1].

$y'(t)=24t^2+52t+20=0\\ \\ 6t^2+13t+5=0$

$D=b^2-4ac=13^2-4\cdot 6\cdot 5=49$

$t_1=\dfrac{-13-7}{2\cdot 6}=-\dfrac{5}{3};~~ t_2=\dfrac{-13+7}{2\cdot 6}=-\dfrac{1}{2}$

Значение $t=-\dfrac{5}{3}$ не принадлежит отрезку [-1;1].

Найдём наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка

$y(-1)=8\cdot (-1)^3+26\cdot (-1)^2+20\cdot (-1)-13=-15\\ y\left(-\dfrac{1}{2}\right)=8\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3+26\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+20\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)-13=-\dfrac{35}{2}$

$y(1)=8\cdot 1^3+26\cdot 1^2+20\cdot 1-13=41$

Наибольшее значение функции: 41, а наименьшее — -35/2.