Question

т31) Найдите область значений функции y=4cos^3(2x) +sin^2(2x)
$y = 4 { \cos(2x) }^{3} + { \sin(2x) }^{2}$
Заранее спасибо!​

Answer 1

$y=4\cos^32x+\sin^22x=4\cos^32x-\cos^22x+1$

Пусть $\cos 2x=t$. Исследуем на наибольшее и наименьшее значение функции

$y(t)=4t^3-t^2+1,~~ t\in [-1;1].$

$y'(t)=(4t^3-t^2+1)'=12t^2-2t=0$

$2t(6t-1)=0\\ t_1=0; t_2=\frac{1}{6}$

Найдём наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка

$y(-1)=4\cdot (-1)^3-(-1)^2+1=-4~~~-\min\\ y(0)=4\cdot 0^3-0^2+1=0\\ y(\frac{1}{6})=4\cdot (\frac{1}{6})^3-(\frac{1}{6})^2+1=\frac{107}{108}\\ y(1)=4\cdot 1^3-1^1+1=4~~~~-\max$

Область значений данной функции: $E(y)=[-4;4].$