Question

т89) найдите наименьшее положительное решение уравнения 1/cosx+ корень3 / sinx =4
$\frac{1}{ \cos(x) } + \frac{ \sqrt{3} }{ \sin(x) } = 4$
Заранее спасибо!!!​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{2\pi}9$

Объяснение:

Домножаем на $\sin x\cos x$ (запомним заодно, что ни синус, ни косинус x не должны равняться нулю):

$\sin x+\sqrt3\cos x=4\sin x\cos x\\\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt3}2\cos x=2\sin x\cos x\\\sin x\cos\dfrac\pi3+\cos x\sin\dfrac\pi3=\sin 2x\\\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\sin 2x$

Полезный факт:

$\sin x=\sin y\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=x+2\pi n, n \in\mathbb Z\\y=\pi-x+2\pi m, m\in\mathbb Z\end{array}\right.$

Таким образом, решения исходного уравнения содержатся в двух сериях:

- первая:

$2x=x+\dfrac\pi3+2\pi n\\x=\dfrac\pi3+2\pi n$

Очевидно, наименьшее положительное значение получается при n = 0, $x=\pi/3$

- вторая:

$2x=\pi-\left(x+\dfrac\pi3\right)+2\pi m\\3x=\dfrac{2\pi}3+2\pi m\\x=\dfrac{2\pi}9+\dfrac{2\pi m}3$

Тут наименьшее положительное значение при m = 0, $x=2\pi/9$

$\dfrac{2\pi}9<\dfrac{3\pi}9=\dfrac\pi3$

значит, наименьшее положительное решение уравнения $2\pi/9$.