Question

задача про трапецию, ответ отмечен, мне нужно решение

Answer 1

Отношение оснований BC и AD трапеции ABCD равно 1 : 5. Точка Е и K находятся на стороне CD и делят ее в отношене 1:2:1. Точка F делит сторону АВ пополам. Найдите отношение площади трапеции на площадь треугольника EFK.

Решение:

Проведём среднюю линию $FG$. Средняя линия трапеции делит её высоту пополам и обозначим $CH=h$, $CI=h/2.$

Пусть $CE=x,~ EK=2x,~KD=x$ тогда, E — середина отрезка CG и точка G — середина отрезка EK (т.к. EG = GK = 2x - x = x). Следовательно, $CE=EG=GK=KD.$ Обозначим $BC=y,~ AD=5y.$ Определим отношение площадей трапеций ABCD и FBCG

$\dfrac{S_{ABCD}}{S_{FBCG}}=\dfrac{\dfrac{y+5y}{2}\cdot h}{\dfrac{\dfrac{5y+y}{2}+y}{2}\cdot \dfrac{h}{2}}=\dfrac{3y}{\dfrac{4y}{2}\cdot \dfrac{1}{2}}=3.$ (1)

Определим отношение площадей трапеции FBCG и треугольника FEG

$\dfrac{S_{FBCG}}{S_{FEG}}=\dfrac{4yh/4}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{5y+y}{2}\cdot \dfrac{h}{4}}=\dfrac{y}{\dfrac{6y}{16}}=\dfrac{8}{3}$

Поскольку G — середина EK, то FG — медиана треугольника FEK и делит она площадь треугольника пополам.

$\dfrac{S_{FBCG}}{S_{FEG}}=\dfrac{S_{FBCG}}{S_{EFK}/2}=\dfrac{8}{3}~~\Rightarrow~~ \dfrac{S_{FBCG}}{S_{EFK}}=\dfrac{4}{3}$

Выразив отсюда $S_{FBCG}$ и подставив в равенство (1), мы получим

$\dfrac{S_{ABCD}}{\frac{4}{3}S_{EFK}}=3~~~\Rightarrow~~ \dfrac{S_{ABCD}}{S_{EFK}}=3\cdot \dfrac{4}{3}=4~~\Rightarrow~~ \boxed{S_{ABCD}:S_{EFK}=4:1}$

Ответ: 4 : 1.