Question

Найдите все несократимые положительные дроби, которые увеличиваются в три раза, если

увеличить и числитель, и знаменатель на 12.​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{2}{9}$

Пошаговое объяснение:

Пусть x, y — числитель и знаменатель данной дроби — положительные, взаимно простые числа. Тогда

$\dfrac{x+12}{y+12}=\dfrac{3x}{y}\\3x(y+12)=y(x+12)\\2xy+36x-12y=0\\xy+18x-6y-108=-108\\x(y+18)-6(y+18)=-108\\(y+18)(x-6)=-108\\y=\dfrac{108}{6-x}-18$

Из предпоследнего уравнения следует, что x < 6, так как справа стоит отрицательное число, а слева первый множитель заведомо положителен. Переберём все натуральные x от 1 до 5:

При x = 1 y = 3,6 — такого быть не может, y должен быть целым.

При x = 2 y = 9 — подходит.

При x = 3 y = 18 — не подходит, так как числа должны быть взаимно простыми.

При x = 4 y = 36 — не подходит, так как числа должны быть взаимно простыми.

При x = 5 y = 90 — не подходит, так как числа должны быть взаимно простыми.

Таким образом, условию удовлетворяет дробь $\dfrac{2}{9}$.