Question

№4.1. Дана треугольная призма у которой две боковые грани являются равными параллелограммами (см. рис. 1). Докажите, что третья боковая грань это прямоугольник.

Answer 1

Ответ:

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Обозначим данную треугольную призму буквами $ABCA_1B_1C_1$.

По чертежу определяем, что :

$AA_1=BB_1=CC_1$, $AC=CB = A_1C_1=C_1B_1$, $\angle CC_1A_1=\angle CC_1B_1$.

Проведём высоту $C_1M$ к стороне $A_1B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

Также проведём высоту $CH$ данной треугольной призмы.

$C_1M-$ высота, биссектриса и медиана равнобедренного $\triangle A_1B_1C_1$ (по свойству).

Так как $\angle CC_1A_1=\angle CC_1B_1 \Rightarrow$ основание высоты $CH$ данной призмы лежит на высоте $C_1M$.

$CH\perp A_1B_1; \:\: C_1M\perp A_1B_1 \Rightarrow A_1B_1 \perp (C_1CM)\Rightarrow A_1B_1 \perp C_1C$.

Это значит, что $A_1B_1 \perp BB_1 \:\: (A_1B_1\perp AA_1$ соответственно$)$.

$\bf \Rightarrow ABB_1A_1$ - прямоугольник. Что и требовалось доказать.