Question

В шестиугольнике ABCDEF выполнены равенства FA=AB=BC=CD=DE, ∠A=100∘, ∠B=140∘, ∠C=110∘, ∠D=130∘. Найдите величину угла E.

Answer 1

Ответ:

$\angle E=105^{\circ}$

Объяснение:

Проведём биссектрисы $\angle B$ и $\angle C$. Пусть они пересекаются в точке $O$.

Также проведём отрезки $EO, \: OD$ и $AO$.

========================================

Рассмотрим $\triangle BOC$ :

$\angle OBC = 140^{\circ}:2=70^{\circ}$, т.к. $BO$ - биссектриса.

$\angle OCB=110^{\circ}:2=55^{\circ}$, т.к. $CO$ - биссектриса.

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\circ}$.

$\Rightarrow \angle BOC=180^{\circ}-(70^{\circ}+55^{\circ})=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$

$\Rightarrow \triangle BOC$ - равнобедренный.

========================================

Рассмотрим $\triangle BOA$ и $\triangle BOC$ :

$\angle ABO=\angle CBO$, т.к. $BO$ - биссектриса;

$AB=CB$ (по условию); $OB -$ общая сторона.

$\Rightarrow \triangle BOA=\triangle BOC$ (по I признаку равенства треугольников).

========================================

Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle DOC$ :

$\angle BCO=\angle DCO$, т.к. $CO$ - биссектриса;

$BC=CD$ (по условию), $CO$ - общая сторона.

$\Rightarrow \triangle BOC=\triangle DOC$ (по I признаку равенства треугольников).

========================================

$\Rightarrow \triangle BOA=\triangle DOC$, т.е. мы имеем три равных равнобедренных тр-ка:

$\boxed{\triangle BOA, \: \triangle DOC,\: \triangle BOC}$

========================================

Рассмотрим $\triangle EDO$ :

$\angle EDO=130^{\circ}-\angle ODC=130^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$.

$\Rightarrow \triangle EDO$ - равносторонний $\Rightarrow FA=EO$

========================================

Рассмотрим геометрическую фигуру $AFEO$ :

$\angle FAO=100^{\circ}-\angle OAB=100^{\circ}-55^{\circ}=45^{\circ}$.

$\angle AOE=360^{\circ}-(55^{\circ}+55^{\circ}+55^{\circ}+60^{\circ})=135^{\circ}$ (т.к. в полном угле всего 360°)

При пересечении двух параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

$\angle FAO+\angle EOA=180^{\circ} \Rightarrow FA|| EO$

Если у геометрической фигуры есть 4 угла, 4 стороны, а 2 стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

У параллелограмма противоположные углы равны.

$\Rightarrow \angle FAO=\angle FEO=45^{\circ}$.

$\Rightarrow \angle E=\angle FEO+\angle DEO=45^{\circ}+60^{\circ}=105^{\circ}$

========================================