Question

Помогите с решением, нужно найти область определения и решить неравенство

Answer 1

1.Область определения:

$\left \{ {{x^2+x\geq 0} \atop {x-2\neq 0 }} \right. \left \{ {{x(x+1)\geq 0} \atop {x\neq 2 }} \right. \left \{ {{x\leq -1 или x \geq 0} \atop {x\neq 2 }} \right.$

О т в е т. (-∞;-1] U[0; 2) U (2; +∞)

2.

$\frac{\sqrt{x^2+x} }{x-2} -x\geq 3$

$\frac{\sqrt{x^2+x} }{x-2} \geq x+3$

Если x > 2,  ( см ОДЗ x ∈(2;+∞),

то

$\sqrt{x^2+x} \geq (x+3)(x-2)$

$\sqrt{x^2+x} \geq x^2+x-6$

Пусть

$\sqrt{x^2+x}=t ; t \geq 0\\\\ x^2+x=t^2$

$t \geq t^2-6$     ⇒      $t^2-t-6 \leq 0$   $D=1+24=25$

$(t+2)(t-3)\leq 0$       ⇒      $-2 \leq t \leq 3$

$-2\leq \sqrt{x^2+x } \leq 3$    ⇒   $\left \{ {{\sqrt{x^2+x}\leq3 } \atop {\sqrt{x^2+x}\geq -2 }} \right.$    ⇒    $x^2+x\leq 9$

$x^2+x-9\leq 0$

D=1+36=37

$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}\leq x\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$

C учетом x >2   получаем    $x\in (2; \frac{-1+\sqrt{37}}{2}]$

Если x < 2,  ( см ОДЗ:  x ∈(-∞;-1] U[0; 2) )

$\sqrt{x^2+x} \leq (x+3)(x-2)$

$\sqrt{x^2+x} \leq x^2+x-6$    ⇒  $t^2-t-6 \geq 0$

$t\leq \frac{-1-\sqrt{37}}{2}$   или   $t\geq \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$

C учетом ОДЗ:  x ∈(-∞;-1] U[0; 2)  получаем

$x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{37}}{2}]$

Объединяем оба полученных ответа

О т в е т. $x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{37}}{2}]\cup (2; \frac{-1+\sqrt{37}}{2}]$