Question

Помогите пожалуйста решить этот пример.Найти все корни уравнения на отрезке [0: 2Pi]

Answer 1

Возводим в квадрат:

$\frac{2sin^2x}{3cosx+3}=1$

$\left \{ {{3cosx+3\neq 0} \atop {2sin^2x=3cosx+3}} \right.$

$\left \{ {{cosx\neq-1} \atop {2(1-cos^2x)=3cosx+3}} \right.$

$\left \{ {{cosx\neq-1} \atop {2cos^2x+3cosx+1=0}} \right.$

D=9-4·2=1

$\left \{ {{cosx\neq-1} \atop {cosx=\frac{-3\pm1 }{4} }} \right.$

$\left \{ {{cosx\neq-1} \atop {cosx=-1; cosx=-\frac{1 }{2} }} \right.$    ⇒     $cosx=-\frac{1}{2}$   ⇒  $x=\pm\frac{2\pi }{3} +2\pi n, n \in Z$

$x=\frac{2\pi }{3} ; x=\frac{4\pi }{3}$  принадлежат отрезку  [0: 2π]

Answer 2

Ответ: x=+-2π/3 +2πn , n∈Z

           На интервале [0; 2π] : x1=2π/3 ; x2=4π/3

Объяснение:

Немного другой путь решения.

√(2sin^2(x)/(3cos(x) +3) ) =  1/√3  *  √(sin^2(x)/( (1+cos(x) )/2) )  =

=1/√3 *√(sin^2(x)/cos^2(x/2) ) =  |sin(x)/cos(x/2) | /√3 = =|2*sin(x/2)*cos(x/2)/cos(x/2)| /√3 =  2*|sin(x/2)|/√3

Таким образом, уравнение принимает вид :

|sin(x/2)| = √3/2

sin(x/2) =+-√3/2

1)x/2 = +-π/3 +2πN, N∈Z → x =+-2π/3 +2πr, r∈Z  и r - четное

2)  x/2 = π-+π/3 +2πk, k∈Z → x=+-2π/3 +2π*(2k+1) = +-2π/3 +2π*m , m∈Z и m-нечетное.

То есть эквивалентно такому решению :

x=+-2π/3 +2πn , n∈Z

На интервале  [0; 2π] подходит :

x1=2π/3  

x2= -2π/3 +2π = 4π/3

ОДЗ: cos(x/2)≠0 выполняется, так как при данных x  |sin(x/2)≠1|