У рівнобічну трапецію вписано коло, Відстань від центра кола до точки перетииу ліагоналей трапеції відноситься до радіуса кола, як 3:5, Знайти плошу трапеції, якщо її бічна сторона дорівнюе 10 см.
Ответы
Ответ: =40cm2
Объяснение:
Пусть трапеция АВСD, где AD>BC и AD, BC- основания.
Если в трапецию вписана окружность , то суммы противоположных сторон равны.
AB+CD=BC+AD=20
Пусть О центр вписанной окружности, Р точка пересечения диагоналей.
ОМ - радиус окружности , причем так как трапеция равнобочная, то Р лежит на ОМ.
Так как окружность вписанная, то ОМ является половиной высоты трапеции. Продолжим МО до пересечения с AD в точке K.
МК- высота трапеции.
Рассмотрим треугольники APD и CPB. Они подобны по 2-м углам.
( подробно не буду это доказывать, но понятно, что DBC = BDA- накрест лежащие. ). Коэффициент подобия будет равен отношению соответствующих элементов этих треугольников.
Заметим, что КР и МР соответственно высоты треугольников APD и CPB.
Тогда k= KP/MP
Обозначим ОР=3х Тогда ОМ=5х, МР=5х-3х=2х, КР= ОК+ОР=5х+3х=8х
Тогда k= KP/MP =8х/2x=4
Тогда AD:BC=4
=> BC=y => AD=4*y
BC+AD=20 = y+4*y
5*y=20
y=BC=4
AD= BC*k= 4*4=16
Проведем теперь высоту ВН.
АН= (AD-BC):2= (16-4):2=6 cm ( так как трапеция равнобочная)
Тогда из треугольника АВН по т.Пифагора имеем:
ВН= sqrt(BA^2-Ah^2)=sqrt(100-36)=8
S(ABCD)=(AD+BC)*BH/2= 20*8/2=40cm2
То есть k=