Question

помогите решить пример​

Answer 1

Дано:

$tg(\alpha+\frac{\pi }{4})=\frac{2}{3}$

Найти  $cos2\alpha$

Решение:

1)    $tg(\alpha+\frac{\pi }{4})=\frac{tg\frac{\pi}{4}+tg\alpha }{1-tg\frac{\pi}{4}*tg\alpha}=\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha }$

      $tg(\alpha+\frac{\pi }{4})=\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha }=\frac{2}{3}$

2)    $\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha }=\frac{2}{3}$

     $3*({1+tg\alpha)=2*(1-tg\alpha)$

    $3tg\alpha+2tg\alpha=-3+2$

    $5tg\alpha=-1$

     $tg\alpha =-\frac{1}{5}$

3)  $\frac{1}{cos^2\alpha } =1+tg^2\alpha$

   $\frac{1}{cos^2\alpha } =1+(-\frac{1}{5})^2$

  $\frac{1}{cos^2\alpha } =\frac{26}{25}$

  $cos^2\alpha =\frac{25}{26}$

 

4)   $sin^2\alpha+cos^2\alpha =1$

    $sin^2\alpha =1-cos^2\alpha$

     $sin^2\alpha =1-\frac{25}{26}$

    $sin^2\alpha =\frac{1}{26}$

5)  $cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$

    $cos2\alpha =\frac{25}{26}-\frac{1}{26}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$

Ответ:   $cos2\alpha =\frac{12}{13}$