Question

Помогите решить log3(9х+16х-9*4х+8)≥2х

Answer 1

$log_{3}(9^{x}+16^{x}-9\cdot 4^{x}+8)\geq 2x$

так как

$2x=2x\cdot 1=2x\cdot log_{3}3= log_{3}3^{2x}=log_{3}9^{x}$

Неравенство принимает вид

$log_{3}(9^{x}+16^{x}-9\cdot 4^{x}+8)\geq log_{3}9^{x}$

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

и учитывая область определения логарифмической функции получаем

систему двух неравенств:

$\left \{ {{9^{x}+16^{x}-9\cdot 4^{x}+8\geq 9^{x}} \atop {9^{x}+16^{x}-9\cdot 4^{x}+8>0}} \right.$

Решения второго неравенства входят в первое, поэтому решаем первое:

$16^{x}-9\cdot 4^{x}+8\geq 0$

Квадратное неравенство относительно   $4^{x}$

Замена переменной:

$4^{x}=t, \\\\t >0$

$t^2-9t+8\geq0$

D=81-32=49

$(t-1)(t-8)\geq 0$   ⇒  0 < t ≤1  или    t ≥8

Обратная замена:

0 < $4^{x}$ ≤1  или    $4^{x}$ ≥8

x ≤1   или   x ≥  log₄8=3/2

О т в е т. (-∞;1} U {1,5; +∞)