Question

При каких m уравнение (m - 3)x^2 - 6x + m + 5 = 0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.

Answer 1

Ответ:

[$-1-\sqrt{13} ; -1+\sqrt{13}$ ]

Объяснение:

(m - 3)x² - 6x + m + 5 = 0

Имеет корни, если Д≥0.

Д=36-4*(m - 3)*(m + 5 )=-4m²-8m +96=-4(m²+2m-12).

-4<0 ⇒  (m²+2m-12)≤0 .

Корни  m²+2m-12=0  ,Д=4+48=52=4*13

х1=$\frac{-2+2\sqrt{13} }{2} =-1+\sqrt{13}$

х2=$\frac{-2-2\sqrt{13} }{2} =-1-\sqrt{13}$

m²+2m-12≤0 , метод интервалов

+ + + + [$-1-\sqrt{13}$ ]- - - - - - - {$-1+\sqrt{13}$ ]+ + + + + +

х∈{$-1-\sqrt{13} ; -1+\sqrt{13}$ ]

Исследуем  знаки корней  при различных m.

$x^{2} -\frac{6}{m-3} *x+\frac{m+5}{m-3} =0$

Если $\frac{m+5}{m-3} >0$ , то корни одинаковых знаков.По методу интервалов имеем + + + +(-5)- - - - -(3)+ + + + . Корни одинаковых знаков если m∈(-∞ ;-5)∪(3 ;+∞).

Если $\frac{m+5}{m-3} <0$ , то корни разных знаков.По методу интервалов имеем + + + +(-5)- - - - -(3)+ + + + . Корни разных знаков знаков если m∈(-5 ; 3 ).

Если $\frac{m+5}{m-3} =0$ ,т.е m=-5  то уравнение x²+$\frac{3}{4}$*x=0  и корни 0 и -3\4.