Question

Апофема правильной шестиугольной
пирамиды равна 2/2, все боковые ребра пира-
миды наклонены к основанию под углом 450.
Найдите объем пирамиды.​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{4\sqrt{21}}{49}$ ед³.

Объяснение:

Обозначим данную правильную шестиугольную пирамиду буквами $SABCDE F$.

Проведём высоту пирамиды $SO$.

Проведём апофему $SH$ к $BC$.

$SH = \dfrac{2}{2}$ ед, по условию.

$\angle SCO = \angle SDO = \angle SFO = \angle SAO = \angle SBO = \angle SEO = 45^{\circ}$, по условию.

=======================================================

Так как $\angle SCO = \angle SDO = \angle SFO = \angle SAO = \angle SBO = \angle SEO = 45^{\circ}$ и $SO$ - высота ⇒ $\triangle SCO, \: \triangle SDO, \: \triangle SFO, \: \triangle SEO, \: \triangle SAO, \: \triangle SBO$ - прямоугольные и равнобедренные.

Пусть $x$ - катет этих треугольников. Тогда сторона основания пирамиды тоже $x$.

Выразим проекцию апофемы $SH$, как высоту $OH$ правильного $\triangle BOC$ со стороной $x$:

$OH = \dfrac{x\sqrt{3}}{2}$

В прямоугольном $\triangle SOH$ гипотенуза - $SH$, а катет - $SO$.

И по теореме Пифагора $(c^2=a^2+b^2)$

$SH^2 = SO^2 + OH^2 \\ \\ \Big(\dfrac{2}{2}\Big)^2 = \Big(\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Big)^2 + x^2 \\ \\1^2 = \dfrac{3x^2}{2} + x^2 \\ \\ x^2 = \dfrac{4}{7} \\ \\ x = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

$\dfrac{2\sqrt{7}}{7} - SO, AB, BC, CD, DE, EF, AF.$

$S_{ABCDE F} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot AB^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot\dfrac{2\sqrt{7}}{7} = \dfrac{6\sqrt{3}}{7}$ ед².

$V_{SABCDE F} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCDE F} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{7}}{7} = \dfrac{4\sqrt{21}}{49}$ ед³.