Question

Докажите неравенство:

Answer 1

Для $n\geq 2$ выражение $(n+1)^3$ положительно. Сделаем преобразования, эквивалентные на данном множестве: $2(n+1)^3\leq n^6 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{n^2}{n+1} }\geq 2^{1/6}$.

Пусть $f(x),g(x)$ строго монотонные непрерывные функции (и дифф. на рассматриваемом множестве). Тогда $f(g(x))$ тоже монотонна на этом множестве. Достаточно показать, что $[f(g(x))]'$ не имеет корней: $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, где каждое из множителей не обращается в нуль на рассматриваемом множестве. (Поправьте, если неправ).

Рассмотрим функцию $f(n)=\frac{n^2}{n+1}=f$. Докажем, что она монотонна при положительных $n$: $f'=(f+2)'=(\frac{(n+1)^2+1}{n+1} ) '=(n+1)'+(\frac{1}{n+1})'=1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} >0$.

Используя вышеизложенные рассуждения, приходим к выводу: $\sqrt{f}$ монотонна при положительных значениях $n$. (Можно и проще: просто поделить на $n^2$ числитель и знаменатель).

Для $n\geq 2$ имеем: $\sqrt{\frac{n^2}{n+1} }\geq \sqrt{\frac{4}{3} }=\frac{2}{\sqrt{3}} >\frac{2}{2^{5/6}}=2^{1/6}$.