Question

Решите, пожалуйста, неравенство.

Answer 1

Ответ:

$x \geqslant log_{5}(7)$

Объяснение:

ОДЗ:

$x > log_{5}(3 + \sqrt{11} )$

____________

$\frac{ log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6) }{x + 1} - 1 \geqslant 0$

$\frac{ log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6) + x - 1}{x + 1} \geqslant 0$

Рассматриваем 2 системы:

1)

$log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6 ) + x - 1 \geqslant 0$

$x + 1 > 0$

2)

$log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6 ) + x - 1 \leqslant 0$

$x + 1 < 0$

1)

$log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6) \geqslant 1 - x$

$x > - 1$

2)

$log_{5}( {5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6) \leqslant 1 - x$

$x < - 1$

1)

${5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6 \geqslant {5}^{1 - x}$

$x > - 1$

2)

${5}^{x} - 2 \times {5}^{ - x} - 6 \leqslant {5}^{1 - x}$

$x < - 1$

1)

${5}^{x} - 2 \times \frac{1}{ {5}^{x} } - 6 \geqslant 5 \times \frac{1}{ {5}^{x} }$

$x > - 1$

2)

${5}^{x} - 2 \times \frac{1}{ {5}^{x} } - 6 \leqslant 5 \times \frac{1}{ {5}^{x} }$

$x < - 1$

_________

Замена для двух систем:

${5}^{x} = t$

_________

Решаем первые части систем:

1)

$t - 2 \times \frac{1}{t} - 6 \geqslant 5 \times \frac{1}{t}$

2)

$t - 2 \times \frac{1}{t} - 6 \leqslant 5 \times \frac{1}{t}$

!!!! € вместо знака принадлежности

1) t€[-1;0) или [7;+∞)

2) t€(-∞;-1] или (0;7]

Обратная замена:

1)

система

${5}^{x} \geqslant - 1$

${5}^{x} < 0$

вне системы

${5}^{x} \geqslant 7$

2)

${5}^{x} \leqslant - 1$

система:

${5}^{x} > 0$

${5}^{x} \leqslant 7$

1) система:

х€ R

x не принадлежит R

вне системы:

$x \geqslant log_{5}(7)$

2) x не принадлежит R

система:

х€R

$x \leqslant log_{5}(7)$

1)

$x \geqslant log_{5}(7)$

2)

$x \leqslant log_{5}(7)$

возвращаемся в основные системы:

1)

$x \geqslant log_{5}(7)$

$x > - 1$

2)

$x \leqslant log_{5}(7)$

$x < - 1$

1)

$x \geqslant log_{5}(7)$

2)

$x < - 1$

Ответ с учётом ОДЗ:

$x \geqslant log_{5}(7)$