Question

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi/2;0] $\frac{cos(4\pi+x) }{sinx-1} = sinx+1$

Answer 1

$\frac{Cos(4\pi+x) }{Sinx-1}=Sinx+1\\\\\frac{Cosx}{Sinx-1} -(Sinx+1)=0\\\\\frac{Cosx-(Sin^{2}x-1)}{Sinx-1}=0\\\\\frac{Cosx+Cos^{2}x }{Sinx-1} =0\\\\\left \{ {{Cosx+Cos^{2}x=0 } \atop {Sinx-1\neq0 }} \right. \\\\\left \{ {{Cosx(1+Cosx)=0} \atop {Sinx\neq1 }} \right.$

или  Cosx = 0    или Cosx = - 1

Cosx = 0 - не подходит, так как если Cosx = 0 , то Sinx = 1 , а это недопустимо .

$Cosx = - 1\\\\x= \pi +2\pi n,n\in Z\\\\n=-1\Rightarrow x=\pi -2\pi=-\pi$

Answer 2

ОДЗ : sinx≠1 ;x≠π/2+2πn; n∈Z ;

cos(4π+x)=cosx;

приведем к общему знаменателю.

cosx=-(1-sin²x)=0; cosx+cos²x=0; cosx*(1+cosx)=0;  

1)cosx=0⇒x=π/2+πk; k∈Z

учитывая ОДЗ, надо взять только нечетные к, т.е. х=3π/2+ 2πk; k∈Z; т.к. при четных к обращается в нуль знаменатель.

2) cosx=-1;  x=π+2πm; m∈Z;

Найдем корни, принадлежащие [-3π/2;0]

1) х=3π/2+ 2πk; k∈Z; к=-1; х=3π/2-2π=-π/2∈[-3π/2;0] ;к=-2; х=3π/2-4π=

-5π/2∉[-3π/2;0]

2) x=π+2πm; m∈Z; m=-1; x=π-2π=-π∈[-3π/2;0], остальные можно не проверять, т.к. они выходят за пределы рассматриваемого отрезка.