Question

1) Докажите, что равенство $m+n\sqrt7=p\sqrt2$ не выполнено ни для каких целых m, n, и p, не равных одновременно нулю.
2) Найдите какие-нибудь такие целые m, n, и p, не равные одновременно нулю, что $m+n\sqrt7$ отличается от $p\sqrt2$ не более, чем на 0,01. Если таких m, n и p не существует, объясните, почему.

Answer 1

1) Пусть равенство $m+n\sqrt{7}=p\sqrt{2}$ выполнено. Тогда выполнено и равенство $m^2+7n^2+2mn\sqrt{7}=2p^2$, но слева иррациональное число, а справа целое, противоречие.

2) Пусть сразу $m=0$, $p,n>0$. Тогда нам нужно найти как можно меньшее значение $\sqrt{7n^2}-\sqrt{2p^2}$. Мы сможем этого достичь, если числа $p,n$ будут достаточно большими, а величина $7n^2-2p^2$ достаточно маленькой.

Найдем такие числа. Пусть $7n^2-2p^2=7 \Leftrightarrow 7(n^2-1)=2p^2$, возьмем $n=2k+1$. Получим $p^2=14k(k+1)$, пусть $k=14m^2$, тогда требуется найти такое $k$, чтобы $14m^2+1=z^2 \Leftrightarrow 14m^2=(z-1)(z+1)$, сделаем последнюю замену: $z=14l+1$, имеем: $m^2=l(14l+2)$, откуда сразу угадывается решение $m=4,\;l=1$. Возвращаясь к заменам, получим $k=14\times16=224$, Значит, $p^2=14\times224\times 225\Rightarrow p=840$, $n=2k+1=449$.

Теперь осталось проверить: $\sqrt{1411207}-\sqrt{1411200}\approx 0,003$. Итак, решением будет тройка $(m,n,p)=(0,449,840)$