Question

При каких значениях параметра a неравенство ax^2-4x+3a+1>0 выполняется при всех значениях x>0? (Учитывал все условия. У меня вышло, что подходит только при Д>=0,x_в =0 и ещё случай когда параболо над Ox, но с ответом a>1 не сошлось. Помогите!)

Answer 1

Ответ:

a > 1

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим, как выглядит график левой части.

При a = 0 это прямая -4x+1. Уже при x = 1 левая часть отрицательна, значит, данное значение параметра не подходит.

При a < 0 это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому при x > 0 найдутся отрицательные значения левой части, что также не подходит.

При a > 0 это парабола, ветви которой направлены вверх. Заметим, что вершина параболы имеет абсциссу $x_0=\dfrac{2}{a}>0$. Значит, наименьшее значение параболы достигается в некотором x > 0. Если в этой точке значение левой части будет положительно, то и все остальные значения также будут положительны:

$a\cdot(\dfrac{2}{a})^2-4\cdot\dfrac{2}{a}+3a+1=\dfrac{3a^2+a-4}{a}=\dfrac{(3a+4)(a-1)}{a}>0$

Учитывая, что a > 0, множители 3a+4, a заведомо положительны, поэтому на знак влияет только a-1: если оно положительно, то и вся дробь положительна, и наоборот. a - 1 > 0, a > 1.