Question

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

Answer 1

$e^{x-a-2}\leq -x^2-5x+a$

Обозначим

x - a - 2 = t  ⇒ х = t + a + 2

тогда

- х² - 5х + а = - (t + a + 2)²- 5·(t+a+2)+a = - t²- (2а + 9) ·t - a²- 8a - 14

$e^{t}\leq -t^2-(2a+9)\cdot t -a^2-8a-14$

так как

$e^{t}>0$   при любом t,

$-t^2-(2a+9)\cdot t -a^2-8a-14 >0$

$t^2+(2a+9)\cdot t +a^2+8a+14 <0$

$D=(2a+9)^2-4(a^2+8a+14)=4a^2+36a+81-4a^2-32a-56=4a+25$

$t_{1}=\frac{2a+9-\sqrt{4a+25}}{2}$     или   $t_{2}=\frac{2a+9+\sqrt{4a+25}}{2}$

Решение неравенства:

$\frac{2a+9-\sqrt{4a+25}}{2} < t < \frac{2a+9+\sqrt{4a+25}}{2}$

Обратная замена

$\frac{2a+9-\sqrt{4a+25}}{2} < x-a-2 < \frac{2a+9+\sqrt{4a+25}}{2}$