Question

Для действительных a < b доказать неравенство:

Answer 1

Пусть $x=b-a>0$. Тогда: $2^a(2^{b-a}-1)3^a(3^{b-a}-1)=6^a(2^x-1)(3^x-1)$, $\frac{b-a}{2}6^a(6^{b-a}-1)=6^a\frac{x}{2}(6^x-1)$, возвращаясь к неравенству и сокращая на $6^a>0$, получаем: $(2^x-1)(3^x-1)<\frac{x}{2}(6^x-1)$.

Рассмотрим две непрерывные одинаково выпуклые функции. Они могут пересекаться не более чем в одной точке. Действительно, пусть таких точек хотя бы две. Соединим соседние, тогда эта хорда для одной функции располагается над графиком, а для другой — под графиком. Значит, функции разной выпуклости. Следовательно, точек пересечения не более одной.

Легко проверить, что функции, стоящие в обеих частях являются выпуклыми вниз (достаточно дважды продифференцировать или просто раскрыть скобки, разбив функцию на элементарные составляющие).

Графики функции пересекаются в точке $x=0$, значит, для $x=b-a>0$ они больше нигде не пересекаются. Например, при $x=1$ неравенство выполнено, стало быть, оно будет выполнено и для остальных положительных $x$.