Question

при каком значении а уравнение x^3-13^2+ax-64=0 имеет три различных действительны корня образующих геометрическую прогрессию

​

Answer 1

Ответ:

52

Объяснение:

По теореме Виета для кубических многочленов:

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=13\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a\\x_1x_2x_3=64\end{cases}$

Пусть x₁ = b, тогда x₂ = bq, x₃ = bq². Рассмотрим первое и третье уравнения:

$\begin{cases}b+bq+bq^2=13\\b^3q^3=64\end{cases}\begin{cases}b(1+q+q^2)=13\\bq=4\end{cases}$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$b^2q+b^2q^3+b^2q^2=bq\cdot b(1+q+q^2)=4\cdot 13=52=a$

Проверим данное значение a:

$x^3-13x^2+52x-64=0\\(x-4)(x^2-9x+16)=0\\x=\dfrac{9-\sqrt{17}}{2},\ 4,\ \dfrac{9+\sqrt{17}}{2}$

Действительно, $x_2=\dfrac{9+\sqrt{17}}{8}x_1,\ x_3=\dfrac{9+\sqrt{17}}{8}x_2$

Answer 2

Ответ:

a=52

Объяснение:

По условию корни образуют геометрическую прогрессию. Значит мы можем их записать как, [b/q;b;b*q]

По теореме Виета произведение корней равно свободному члену с обратным знаком. => b^3=64=> b=4

Коэффициент a найдем из условия, что значение многочлена при x=4 равно 0.

64-13*16+4a-64=0

a=52