Question

Профильная математика 13 задание, помогите, пожалуйста. Решаю для себя сборник 2018г

Answer 1

Ответ:

$a)~0,5 ;~2;~~~~~~~b)~ 2$

Пошаговое объяснение:

$a)~~64^{x}-65\cdot 4^{x+1}+4^{5-x}=0 \\ \\ (4^3)^{x}-65\cdot 4^{x}\cdot 4^1+\frac{4^5}{4^x}=0 \\ \\ (4^x)^{3}-260\cdot 4^{x}+\frac{1024}{4^x}=0$

Умножим обе части уравнения на $4^x\neq 0$:

$(4^x)^4-260\cdot (4^x)^2+1024=0 \\ \\(4^{2x})^2-260\cdot 4^{2x}+1024=0 \\ \\ 4^{2x}=t,~~~t>0\\\\ t^2-260t+1024=0$

по теореме Виета: $t_1+t_2=260, ~~~t_1\cdot t_2=1024$

$\left[\begin{array}{c}{t=4}&{t=256}\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{4^{2x}=4}&{4^{2x}=256}\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{4^{2x}=4^1}&{4^{2x}=4^4}\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{2x=1}&{2x=4}\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=0,5}&{x=2}\end{array}$

$b)$ Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_3{5};\log_3{11}]$:

$1=\log_3{3}<\log_3{5}$, так как $3<5$ и функция $y=\log_3{x}$-возрастающая (основание логарифма $3>1$)

а $0,5 <1$, значит, $0,5 <\log_3{5}$ и $0,5 \notin [\log_3{5};\log_3{11}]$

$2=\log_3{3^2}=\log_3{9}$,  $5<9<11$, функция $y=\log_3{x}$-возрастающая, значит, $\log_3{5}<\log_3{9}<\log_3{11}$ и $\log_3{5}<2<\log_3{11}$, значит,   $2\in [\log_3{5};\log_3{11}]$

Answer 2

13. а) Если 4ˣ=у>0, то у³-65у*4+4⁵/у=0; у⁴-65*4у²+4⁵=0, получили биквадратное уравнение. у²=65*2±√(16900-1024)=130±√(15876)=130±126; у²=256; у²=-16;∅у²=16;

у²=4; у=-2; ∅;у=2; 4ˣ=16⇒х=2; 4ˣ=2⇒х=1/2;

Ответ 2; 1/2

б) 2=㏒₃3²=㏒₃93; 1/2=㏒₃√3

2= ㏒₃9∈ [㏒₃5; ㏒₃11]

1/2=㏒₃√3∉[㏒₃5; ㏒₃11]

б)Ответ 2