Question

Решите систему тригонометрических уравнений и запишите количество решений на заданном промежутке

Answer 1

Ответ:

5

Объяснение:

Из второго уравнения следует, что $y=\dfrac{3\pi}{4}-x$. Подставим в первое уравнение:

$\sin{x}-\sqrt{2}\cos{(\dfrac{3\pi}{4}-x)}=0\\\sin{x}-\sqrt{2}(\cos{\dfrac{3\pi}{4}}\cos{x}+\sin{\dfrac{3\pi}{4}}\sin{x})=0\\\sin{x}-\sqrt{2}(-\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{2}})=0\\\cos{x}=0\\x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\y=\dfrac{3\pi}{4}-(\dfrac{\pi}{2}+\pi k)=\dfrac{\pi}{4}-\pi k$

Найдём количество решений с помощью системы неравенств:

$\displaystyle\left \{ {{-3\pi\leq \dfrac{\pi}{2}+\pi k\leq 3\pi} \atop {-3\pi\leq \dfrac{\pi}{4}-\pi k\leq 3\pi}} \right. \left \{ {{-4<-\dfrac{7}{2}\leq k\leq \dfrac{5}{2}<3} \atop {-3<-\dfrac{11}{4}\leq k\leq \dfrac{11}{4}<4}} \right. \Rightarrow k=-2;-1;0;1;2$

При заданных условиях система имеет 5 решений.