Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой x(степень: 2/3) + y(степень: 2/3) = 10(степень: 2/3)

Answer 1

Ответ:

$x^{2/3}+y^{2/3}=10^{2/3}$  -

Это линия называется астроидой, её уравнение в параметрическом виде

таково:  $\left\{\begin{array}{ccc}x=10cos^3t\\y=10sin^3t\end{array}\right\ \ ,\ \ 0\leq t\leq 2\pi$  .

Фигура замкнута и симметрична относительно осей координат. Поэтому будем находить площадь четвёртой части фигуры, а затем полученное значение умножим на 4 .

При изменении переменной "х" от 0 до 10:   $0\leq x\leq 10$  , параметр t изменяется   от П/2 до 0:   $\dfrac{\pi}{2}\leq t\leq 0\ .$ Действительно, в 1 четверти :

$x_1=0:\ 10cos^3t=0\ \ \to \ \ cost=0\ ,\ \ t_1=\dfrac{\pi}{2}\ \ ;\\\\x_2=10:\ 10cos^3t=10\ \ \to \ \ cost=1\ \ ,\ \ t_2=0\ .$

$\dfrac{1}{4}\cdot S=\int\limits^{t_2}_{t_1}\, y(t)\cdot x'(t)\, dt=\int\limits_{\pi /2}^0\, \Big(10sin^3t\cdot (-30cos^2t\cdot sint\Big)\, dt=\\\\\\=-\int\limits^{\pi /2}_0\, \Big(-300\, sin^4t\cdot cos^2t\Big)\, dt=300\int\limits^{\pi /2}_0\, sin^2t\cdot sin^2t\cdot cos^2t\cdot dt=\\\\\\=300\int\limits^{\pi /2}_0\, \dfrac{1-cos2t}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}sin2t\Big)^2\, dt=300\int\limits^{\pi /2}_0\, \dfrac{1}{2\cdot 4}\, (1-cos2t)\cdot sin^22t\, dt=$

$=\dfrac{300}{8}\int\limits^{\pi /2}_0\, (sin^22t-sin^22t\cdot cos2t)\, dt=\\\\\\=\dfrac{300}{8}\cdot \Big(\int\limits^{\pi /2}_0\, \dfrac{1-cos4t}{2}\, dt-\dfrac{1}{2}\int\limits^{\pi /2}_0\, sin^22t\cdot d(sin2t)\Big)=\\\\\\=\dfrac{300}{16}\cdot \Big(t-\dfrac{1}{4}sin4t\Big)\Big|_0^{\pi /2}-\dfrac{300}{16}\cdot \dfrac{sin^32t}{3}\Big|_0^{\pi /2}=\dfrac{300}{16}\cdot \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{300\, \pi }{32}\\\\\\S=4\cdot \dfrac{300\, \pi }{32}=\dfrac{300\, \pi }{8}=\dfrac{75\, \pi }{2}$