Question

Упростите данное выражение:

Answer 1

Ответ:

-2

Пошаговое объяснение:

Преобразуем выражение в первой скобке:

$\displaystyle\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=\frac{a^2(a+c)(a+b)+b^2(b+c)(a+b)+c^2(a+c)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\\=\frac{a^4+a^3b+a^3c+a^2bc+ab^3+b^4+ab^2c+b^3c+abc^2+ac^3+bc^3+c^4}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\\=\frac{a^3(a+b+c)+b^3(a+b+c)+c^3(a+b+c)+abc(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\\=\frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+abc)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Тогда искомое выражение равно:

$\displaystyle(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}):(a+b+c)=\\=\frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+abc)}{(a+b)(b+c)(c+a)}:(a+b+c)=\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Приведём дроби левой части известного выражения к общему знаменателю:

$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(a+c)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\\=\frac{a^3+a^2b+a^2c+3abc+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Чтобы получить из этой дроби искомое выражение, нужно вычесть дробь

$\displaystyle\frac{a^2b+a^2c+2abc+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\\=\frac{a^2b+a^2c+2abc+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2}{a^2b+a^2c+2abc+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2}=1$

Значит, искомое выражение равно $\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-1=-1-1=-2$