Question

Найти сопротивление бесконечных цепочек:

Answer 1

1) Заметим, что какая бы ни была цепочка, если сопротивления всех ее звеньев увеличить вдвое, ее эквивалентное сопротивление также возрастет вдвое.

Заметим что наша цепочка это резистор r, резистор r и паралелльно к нему присоединенная такая же бесконечная цепочка, но с удвоенным сопротивлением, и еще резистор r

Поэтому

$\displaystyle R = 2r + \frac{2Rr}{2R+r}\\(R-2r)(2R+r) = 2Rr\\R^2-5Rr-2r^2 = 0\\D = 33r^2\\R = \frac{5+\sqrt{33}}{2}r$

2) Обозначим ток, ушедший в первый горизонтальный резистор как A1, а ток ушедший в первый вертикальный резистор как B1, во второй горизонтальный A2, во второй вертикальный B2 и т д. Для любого звена с номером n имеем два правила Кирхгофа

$A_n = B_{n+1}+A_{n+1}\\-B_n + A_n + B_{n+1}=0$

Отсюда

$A_{n+1} = 2A_n - B_n\\B_{n+1} = B_n-A_n$

Посчитаем несколько первых звеньев по полученному правилу

$A_2 = (3k-1)I;\quad B_2 = (1-2k)I\\A_3 = (8k-3)I;\quad B_3 = (2-5k)I\\A_4 = (21k-8)I;\quad B_4 = (5-13k)I\\A_5 = (55k-21)I;\quad B_5 = (13-34k)I$

Заметим что коэффициенты при k в скобках и свободные члены это все числа Фибоначчи! Причем множитель при k это число Фибоначчи с номером на 2 большим, чем соответствующий свободный член.

При стремлении n к бесконечности, отношение коэффициента при k и свободного члена стремится (как отношение двух чисел Фибоначчи с номерами n и n+2) к Ф^2, где число Ф = (1+√5)/2 - золотое сечение. Если k не будет равен 1/Ф^2, мы получим в итоге неограниченный рост токов при стремлении n к бесконечности, чего не может быть. Для компенсации растущих чисел Фибоначчи мы понимаем что k может быть только равен 1/Ф^2.

Теперь вспомним про два крайних резистора и посчитаем перепад напряжения от A к B идя по нижнему контуру. Заметим, что по последнему вертикальному резистору равен полному току I, так как через бесконечную горизонтальную цепочку к "последнему" резистору ничего не притечет, и все будет течь по нижнему контуру. Полный ток течет также через самые крайние резисторы. Поэтому

$U = IR + (1-k)IR + IR +IR = (4-k)IR\\R_\text{eff} = U/I = (4-k)R = (4-\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4})R = \frac{5+\sqrt{5}}{2} R$