Question

решите уравнение прошу даю 15 баллов ​

Answer 1

Ответ:

а) Решениями уравнения являются

$\displaystyle 1) x = - \frac{\pi }{2} +2\pi k;\;\;k \in Z\\\\2) \left[ \begin{array}{ccc} x = \frac{\pi }{6} +2\pi k;\;\;k \in Z; \;\; \\\\ x = \frac{5\pi }{6} +2\pi k;\;\;k \in Z; \;\; \\ \end{array}$

⇒ общее решение во втором случае $\displaystyle x = (-1)^{k} *\frac{\pi}{6} + \pi k ; \;\; k\in Z$

б) Наименьший положительный корень  $\displaystyle x = \frac{\pi }{6}$ .

Объяснение:

2cos²x - sin x - 1 = 0

По основному тригонометрическому тождеству sin²x + cos²x = 1

⇒ cos²x = 1 - sin²x

Преобразуем уравнение:

2(1 - sin²x) - sin x - 1 = 0

2 - 2sin²x - sin x - 1 = 0

-2sin²x - sin x +1 = 0 |*(-1)

2sin²x + sinx - 1 = 0.

Применим замену переменной, обозначим sin x = t, |t| ≤ 1. Получим квадратное уравнение:

2t² + t - 1 = 0;

D = b² - 4ac = 1 + 4 * 2 * 1 = 9 = 3²

$\displaystyle t_{12} =\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} =\frac{-1\pm3}{4}; \;\;t_{1} =\frac{-1-3}{4} =-1; \;\;t_{2} = \frac{-1+3}{4} =\frac{1}{2}$ .  Оба корня удовлетворяют условию |t |≤ 1

1) $\displaystyle t = -1; \;\; sin x = -1; \;\; x = -\frac{\pi }{2} + 2\pi k, \;k\in Z$

В этой серии корней при k ≤ 0 корень x < 0. При k = 1,  $\displaystyle x = -\frac{\pi }{2} +2\pi = \frac{3\pi }{2} = 1\frac{1}{2} \pi$

2)

$\displaystyle t = \frac{1}{2} ; \; \;sin x = \frac{1}{2} \\\\x = arcsin \frac{1}{2} +2\pi k = \frac{\pi }{6} +2\pi k;\;\;k \in Z$

В этой серии корней при  $\displaystyle k = 0 \;\; x =\frac{\pi }{6}$  ; (при k < 0 корни отрицательны).

ИЛИ

$\displaystyle x = \pi - arcsin \frac{1}{2} +2\pi k =\pi - \frac{\pi }{6} +2\pi k=\frac{5\pi }{6}+2\pi k ;\;\;k \in Z$;

При k < 0 корни отрицательны, при k = 0   $\displaystyle x = \frac{5\pi }{6}$;

Получается, что наименьший положительный корень

$\displaystyle x = \frac{\pi }{6}$ .