Question

Помогите решить 7й класс!!! x^3-4x^2-7x+25=0

Answer 1

Ответ:

$x_1=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)}{3}\right)+4}{3}\approx-2,55784\\x_2=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)+2\pi}{3}\right)+4}{3}\approx4,26757\\x_3=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)-2\pi}{3}\right)+4}{3}\approx2,29027$

Объяснение:

$x^3-4x^2-7x+25=0$

Чтобы решить данное уравнение необходимо воспользоваться тригонометрической теоремой Виета.

Выполним необходимые вычисления:

$Q=\dfrac{a^2-3b}{9}\\Q=\dfrac{16+21}{9}=\dfrac{37}{9}\\R=\dfrac{2a^3-9ab+27c}{54}\\R=\dfrac{-2\times64-9\times 4\times 7+27\times25}{54}=\dfrac{295}{54}\\S=Q^3-R^2\\S=\left(\dfrac{37}{9}\right)^3-\left(\dfrac{295}{54}\right)^2=\dfrac{1427}{36}$

Т.к. $S>0$, то имеем 3 действительных корня.

$\varphi = \dfrac{\arccos\left(\dfrac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)}{3}\\\varphi = \dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)}{3}$

Теперь находим 3 корня уравнения:

$x_1=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)}{3}\right)+4}{3}\approx-2,55784$

$x_2=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)+2\pi}{3}\right)+4}{3}\approx4,26757$

$x_3=\dfrac{-2\sqrt{37}\times\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{295\sqrt{37}}{2738}\right)-2\pi}{3}\right)+4}{3}\approx2,29027$

Уравнение решено!