Question

Найти ординату точки ближайшей к точке А(-9/2;0)и лежащей на кривой у= корень -х

Answer 1

$A\left(-\dfrac{9}{2} ;\ 0\right)$

Выберем на кривой $y=\sqrt{-x}$ некоторую точку $B(x;\ \sqrt{-x} )$.

Найдем расстояние АВ:

$AB=\sqrt{\left(-\dfrac{9}{2} -x\right)^2+(0-\sqrt{-x} )^2}$

$AB=\sqrt{\left(\dfrac{9}{2} +x\right)^2+(\sqrt{-x} )^2}$

$AB=\sqrt{\dfrac{81}{4} +9x+x^2-x}$

$AB=\sqrt{x^2+8x+\dfrac{81}{4}}$

Так как необходимо найти ближайшую точку В к точке А, то расстояние АВ должно быть минимальным.

Найдем при каком значении х функция $y=\sqrt{x^2+8x+\dfrac{81}{4}}$ принимает наименьшее значение. В силу того, что функция корня принимает наименьшее значение при наименьшем аргументе, это произойдет, когда аргумент $\left(x^2+8x+\dfrac{81}{4}\right)$ примет наименьшее значение. Значит, нужно найти, при каком значении х функция $y=x^2+8x+\dfrac{81}{4}$ принимает наименьшее значение. Выделим полный квадрат:

$x^2+8x+\dfrac{81}{4}=(x^2+8x+16)-16+\dfrac{81}{4}=(x+4)^2+\dfrac{17}{4}$

При $x=-4$ расстояние АВ будет наименьшим. Значит, ордината точки $B(x;\ \sqrt{-x} )$ равна:

$y=\sqrt{-x} =\sqrt{-(-4)} =\sqrt{4} =2$

Ответ: 2