Question

Делится ли 222 в 555 степени + 555 в 222 степени на 7​

Answer 1

Предположим, что да. $222^{555}\equiv-555^{222} \mod 7$ (далее mod 7 будет опущен). $2^{555}\times 111^{555}\equiv -5^{222}\times 111^{222} \Leftrightarrow 2^{555}\times 111^{333}\equiv-5^{222}$ (действительно, рассмотрим сравнение $ax\equiv bx \mod c$, что означает $x(a-b)$ делится на $c$, но если $x$ и $c$ взаимно просты, то $a-b$ делится на $c$, и сравнение эквивалентно другому сравнению $a\equiv b\mod c$. То есть мы можем сокращать обе части сравнение на число $x$, только если $x$ и $c$ взаимно просты).

Поскольку $2\equiv -5$, то $-5^{555}\times 111^{333}\equiv -5^{222} \Leftrightarrow 5^{333}\times 111^{333}\equiv 1$. Поскольку $111\equiv -1$, то $-5^{333}\equiv 1 \Leftrightarrow 2^{333}\equiv 1 \Leftrightarrow 8^{111}\equiv 1 \Leftrightarrow 1^{111}\equiv 1 \;$, что верно. Значит, ответ да.