Question

Помогите решить задание

Answer 1

Преобразуем выражение, умножив на

$\sqrt{3x^2+5}+\sqrt{3x^2}$

$y=\frac{(\sqrt{3x^2+5}-\sqrt{3x^2})\cdot (\sqrt{3x^2+5}+\sqrt{3x^2})}{\sqrt{3x^2+5}+\sqrt{3x^2}}$

$y=\frac{(\sqrt{3x^2+5})^2-(\sqrt{3x^2})^2}{\sqrt{3x^2+5}+\sqrt{3x^2}}$

$y=\frac{5}{\sqrt{3x^2+5}+\sqrt{3x^2}}$

Функция монотонно убывающая, потому что чем больше знаменатель тем меньше дробь, т. е большему значению х соответствует меньшее  значение y.

Значит наименьшее значение функция принимает в правом конце отрезка, т.е в точке x=3

y(3)=√(3·9+5)-√(3·9)=√32-√27=4√2-2√3=5/(4√2+2√3)

Второй способ.

Находим производную:

$y`=\frac{1}{2\sqrt{3x^2+5}}\cdot (3x^2+5)`- \frac{1}{2\sqrt{3x^2}}\cdot (3x^2)`$

$y`=\frac{1}{2\sqrt{3x^2+5}}\cdot (6x)- \frac{1}{2\sqrt{3x^2}}\cdot (6x)$

$y`=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}- \frac{3x}{\sqrt{3x^2}}$

$y`<0$    при   x >0  и знаменатель первой дроби больше,

значит первая дробь меньше  

наименьшее значение функция принимает в правом конце отрезка, т.е в точке x=3

y(3)=√(3·9+5)-√(3·9)=√32-√27=4√2-2√3