Question

Найдите площадь заштрихованной фигуры
угол АОВ=60⁰, СО¹=а​

Answer 1

Ответ:

Соединим точки О и О₁ ,  ОО₁ - биссектриса , так как на биссектрисе лежит центр вписанной окружности  ⇒  ∠СОО₁ =60°

Рассм.  ΔСОО₁ .  Точка С - точка касания  ⇒  ∠О₁СО=90°  ,  СО₁=а  ,  Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит ОО₁=2*СО₁=2а  .

Если продолжить ОО₁ далее, то точка касания Е - будет лежать на биссектрисе ОО₁ ,  и ОЕ=ОО₁+О₁Е=2а+а=3а  .

Площадь сектора АОЕ равна  

$S_1=\dfrac{\pi R^2\cdot \alpha }{360^\circ }=\dfrac{\pi \cdot (3a)^2\cdot 30^\circ }{360^\circ }=\dfrac{3\pi a^2}{4}\ .$    

Площадь четверти круга  СО₁Е радиуса "а" равна  

$S_2=\dfrac{\pi r^2}{4}=\dfrac{\pi a^2}{4}$  .

Площадь  ΔОО₁С равна$S_3=\dfrac{1}{2}\cdot OO_1\cdot CO_1\cdot sin\angle {OO_1C}=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\cdot sin60^\circ =\dfrac{\sqrt3\, a^2}{2}\ .$

Площадь искомой фигуры в силу симметрии равна

$S=2\cdot (S_1-S_2-S_3)==2\cdot \Big(\dfrac{3\pi a^2}{4}-\dfrac{\pi a^2}{4}-\dfrac{\sqrt3a^2}{2}\Big)=\\\\=\dfrac{3\pi a^2}{2}-\dfrac{\pi a^2}{2}-\sqrt3a^2=\dfrac{2\pi a^2}{2}-\sqrt3a^2=\pi a^2-\sqrt3a^2=\\\\=(\pi -\sqrt3)\, a^2$