Question

Найдите все пары целых чисел х и у, при которых справедливо равенство:
x^2+2x=y^2+6

Answer 1

Ответ:

(x,y)={(-5;-3), (-5;3), (3;-3), (3;3)}

Объяснение:

Заметим, что $x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1$, сделаем замену z=x+1,

получаем уравнение: $z^2-1=y^2+6$, которое равносильно $z^2=y^2+7$, заметим, что выражение не зависит от знаков z и y, поэтому решим для целого неотрицательного z, если z>=5, то z^2-(z-1)^2=2z-1>=9, тогда заметим, что y<z, иначе $y^2+7 > z^2$, но тогда  $y^2+7\leq (z-1)^2+7 < (z-1)^2 + 2z + 1 = z^2$. Таким образом решения есть при z<=4, теперь рассмотрим все случаи:

z=0 ⇒ y^2=-7 нет решений

z=1  ⇒ y^2=-6 нет решений

z=2 ⇒ y^2=-3 нет решений

z=3 ⇒ y^2= 2 нет решений

z-4 ⇒ y^2= 9 ⇒ y=3 или -3

Так как z может быть как положительным, так и отрицательным, то получается четыре пары решений (z,y):

(-4;-3), (-4;3), (4;-3), (4;3) Теперь вспомним, что x=z-1, откуда получается 4 пары (x,y):

(-5;-3), (-5;3), (3;-3), (3;3)