Предмет: Геометрия
Автор: lizakichiginapr16
Вопрос задан 2 года назад

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=3 и BC=4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

cos20093: 1) Центр лежит на срединном перпендикуляре к MN, то есть его координаты (1,t); квадрат радиуса r^2 = 1^2+t^2; 2) уравнение окружности (x-1)^2+(y-t)^2=t^2+1; в таком виде касание выполняется.

cos20093: Блин, что со мной сегодня :) все не так! это r = t; вот условие касания.

cos20093: ладно ладно :) интересно, пробьюсь ли я через мусор в голове :)

cos20093: (x-1)^2+(y-t)^2=t^2; => x^2-2x+1+y^2-2t=0; при x = 0 y = 3/2; t = (9/4+1)/2 = 13/8; вот это больше похоже на радиус. Центр будет в точке (1, 13/8), чуть выше средней линии

cos20093: Ай... ну вот, пока колупался с координатным методом, нашел элементарное решение в одну строчку :))) Конечно же, если рассмотреть касательную и секущую из точки C, то (точка касания с BC - M, вторая точка пересечения с гипотенузой K, середина гипотенузы D, надо найти DK=x) CM = 3; CD = 5/2 (треугольник египетский, AC = 5)

cos20093: => 3^2 = 5/2*(5/2+x); это даже не квадратное уравнение............ ой, чегой-то я сегодня не в себе явно. Извиняюсь перед автором решения - у него все верно и очень хорошо. и ответ правильный

cos20093: Любопытно, надо было мне сначала прочесть решение, а потом самому что-то делать :))) получилось, что я нашел то же самое решение. Впрочем, не удивительно.

cos20093: Ладно, придется предъявлять координатное решение, тем более, что я там еще раз ошибся. Повторю условие. Окружность проходит через точки M(0,3/2) и N(2, 3/2) и касается прямой y=0; надо найти вторую точку K пересечения с прямой x/4+y/3=1; и KN; Центр лежит на срединном перпендикуляре к MN, то есть его координаты (1,r); уравнение окружности (x-1)^2+(y-r)^2=r^2; или x^2-2x+1+y^2-13y/6=0; если подставить x=0; y=3/2; получится r=13/12; и это уже точно. :)

cos20093: Я там немного поторопился, x^2-2x+1+y^2-2ry=0; => при (0,3/2) 1+9/4-3r=0; r = 13/12; Теперь надо записать систему x^2-2x+1+y^2-13y/6=0; x/4+y/3=1; выразить y = 3 - 3x/4; и подставить в уравнение окружности; получится x^2-78x/25+56/25=0; одно из решений обязательно x = 2; следовательно второе 28/25; - это абсцисса точки K; а надо найти её расстояние до N(2,3/2);

cos20093: Можно это "честно" посчитать, но проще вспомнить, что треугольник египетский. Проекция KN на ось X будет 2-28/25=22/25; (кстати, это расстояние между корнями квадратного уравнения) а сама KN равна 5/4*22/25 = 11/10;