Question

Помогите, пожалуйста, с примером.

Answer 1

Решение:

$\displaystyle \frac{11 \cdot 3^{x-1} - 31}{4 \cdot 9^x - 11 \cdot 3^{x-1} - 5} \geq 5 \\\\\\ \displaystyle \frac{11 \cdot 3^{x-1} - 31}{36 \cdot (3^{x-1})^2 - 11 \cdot 3^{x-1} - 5} \geq 5$

Сделаем замену $3^{x-1}=t$:

$\displaystyle \frac{11 t - 31}{36 t^2 - 11 t - 5} - 5 \geq 0 \\\\ \\ \frac{11 t - 31 - 5 (36 t^2 - 11 t - 5) }{36 t^2 - 11 t - 5} \geq 0 \\\\\\\frac{11 t - 31 - 180 t^2 + 55t + 25 }{36 t^2 - 11 t - 5} \geq 0 \\\\\\\frac{180 t^2 - 66t + 6 }{36 t^2 - 11 t - 5} \leq 0 \\\\\\\frac{30 t^2 - 11t + 1 }{36 t^2 - 11 t - 5} \leq 0$

Дальше раскладываем числитель и знаменатель на скобки, используя формулу $a(t-t_1)(t-t_2)$.

Первое уравнение имеет корни:

$t_1 = \dfrac{11 + \sqrt{1} }{60} = \dfrac{1}{5}; \;\;\; t_2 = \dfrac{11 -\sqrt{1} }{60} = \dfrac{1}{6}$

Второе:

$t_1 = \dfrac{11 + \sqrt{841} }{72} = \dfrac{5}{9}; \;\;\; t_2 = \dfrac{11 -\sqrt{841} }{72} = - \dfrac{1}{4}$

Таким образом:

$\displaystyle \frac{(6t-1)(5t-1) }{ (4t+1)(9t - 5) } \leq 0$

И знаки на числовой прямой:

 + + +                  - - -           + + +             - - -              + + +

______$\bigg ( - \dfrac{1}{4} \bigg )$______$\bigg ( \dfrac{1}{6} \bigg )$______$\bigg ( \dfrac{1}{5} \bigg )$______$\bigg ( \dfrac{5}{9} \bigg )$______

Значит, $\displaystyle t \in \bigg ( - \frac{1}{4} ; \frac{1}{6} \bigg ] \cup \bigg [ \frac{1}{5} ; \frac{5}{9} \bigg )$.

Так как $3^{x-1} > 0$, то $\displaystyle 3^{x-1} \in \bigg ( 0; \frac{1}{6} \bigg ] \cup \bigg [ \frac{1}{5} ; \frac{5}{9} \bigg )$ и $\displaystyle 3^{x} \in \bigg ( 0; \frac{1}{2} \bigg ] \cup \bigg [ \frac{3}{5} ; \frac{5}{3} \bigg )$

Из первого промежутка получаем $x \leq \log_3 \dfrac{1}{2} = - \log_3 2$.

Из второго - $\log_3 \dfrac{3}{5} \leq x < \log_3 \dfrac{5}{3}$.

Таким образом, $x \in \bigg ( - \infty; - \log_3 2 \bigg ] \cup \bigg [ \log_3 \dfrac{3}{5}; \log_3 \dfrac{5}{3} \bigg )$

На первом промежутке положительных чисел нет.

Также, $\log_3 \dfrac{3}{5} < 0$ (потому что основание больше ноля, а подлогарифмическое выражение меньше ноля).

А также $\log_3 1 < \log_3 \dfrac{5}{3} < \log_3 3$ , $0 < \log_3 \dfrac{5}{3} < 1$.

Значит, целых положительных решений у неравенства нет. Есть отрицательные решение и решение $x=0$. Оно и будет ответом.

Ответ: 0.