Question

Задание 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b. Угол при основании равен α. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Указание: решить задачу можно, используя формулы для площади треугольника.

Answer 1

1)

S=r*p, где р - полупериметр. р=(2b+a)/2=b+a/2; a/2 - половина основания.

2)

Рассм. прямоугольный треугольник с гипотенузой b; высотой(катетом) h и вторым катетом а/2.

sinα=h/b; ⇒ h=b*sinα

cosα=(a/2) / b; ⇒  a/2=b*cosα

S=1/2 * h * a=1/2 * b*sinα * 2bcosα=1/2 * b² * 2sinα*cosα=b²sin2α/2

3)

r=S/p=(b²sinα*cosα)/(b+b*cosα)=b*sinα*cosα/(1+cosα).

ИЛИ

r=b*2sinαcosα/(2(1+cosα)=(1/2)*bsin2α/(1+cosα).