Question

$sin(\pi\sqrt{x-2})sin(\pi\sqrt{x+2})=-1$

Answer 1

Ответ:

$4.25$

Пошаговое объяснение:

$sin(\pi\sqrt{x-2})sin(\pi\sqrt{x+2})=-1\\2sin(\pi\sqrt{x-2})sin(\pi\sqrt{x+2})=-2\\cos(\pi\sqrt{x-2}-\pi\sqrt{x+2})-cos(\pi\sqrt{x-2}+\pi\sqrt{x+2})=-2$

Заметим, что косинус может дать наибольшее значение 1, а наименьшее -1. Значит -2 мы получим тогда и только тогда, когда уменьшаемое будет равно -1, а вычитаемое 1.

Тогда перейдем к системе:

$cos(\pi\sqrt{x-2}-\pi\sqrt{x+2})=-1\\cos(\pi\sqrt{x-2}+\pi\sqrt{x+2})=1$

Решим первое уравнение:

$cos(\pi\sqrt{x-2}-\pi\sqrt{x+2})=-1\\cos(\pi(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}))=-1\\\pi(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2})=\pi+2n\pi,\;n\in Z\\\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=1+2n,\;n\in Z$

Заметим, что $\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}$ - отрицательное число (если $x\ge2$). Функция $f(x)=\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}$ возрастает на всей области определения, поэтому наименьшее значение достигается при x=2. Оно равно $\sqrt{2-2}-\sqrt{2+2}=-2$. В свою очередь единственное значение, которое принимает $1+2n,\;n\in Z$ на промежутке $[-2;\;0)$ - это -1.

Значит, необходимо решить уравнение:

$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=-1$

Решив это уравнение, получим, что $x=4.25$.

Проверим, является ли $x=4.25$ корнем второго уравнения:

$cos(\pi\sqrt{x-2}+\pi\sqrt{x+2})=1\\cos(\pi(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}))=1\\\pi(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})=2n\pi,\;n\in Z\\\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}=2n,\;n\in Z$

Подставим $x=4.25$:

$\sqrt{4.25-2}+\sqrt{4.25+2}=4$

Равенство верно при n=2.

Значит $x=4.25$ является корнем исходного уравнения.

Уравнение решено!