Question

|x-6|-|x^2-5x-6|<6 Решите, пожалуйста методом интервалов :)

Answer 1

Ответ:

$|x-6|-|x^2-5x-6|<6\\\\|x-6|-|(x+1)(x-6)|-6<0\\\\znaki\ (x-6):\ \ \qquad \quad ---(-1)---(6)+++\\\\znaki\ (x+1)(x-6):\ \ +++(-1)---(6)+++\\\\a)\ \ x<-1:\ \ |x-6|=-(x-6)=-x+6\ ,\ \ |(x+1)(x-6)|=(x+1)(x-6)\ ,\\\\-x+6-(x^2-5x-6)-6<0\ ,\ \ x^2-4x-6>0\ ,\ D/4=4+6=10\ ,\\\\x_{1,2}=2\pm \sqrt{10}\ \ \to \ \ x\in (-\infty ;\ 2-\sqrt{10})\cup (2+\sqrt{10}\, ;+\infty )\\\\x<-1\ \ \to \ \ \ x\in (-\infty ;\, 2-\sqrt{10})$

$b)\ \ -1\leq x<6:\ \ |x-6|=-x+6\ ,\ \ |(x+1)(x-6)|=-x^2+5x+6\ ,\\\\-x+6-(-x^2+5x+6)-6<0\ ,\ \ x^2-6x-6<0\ ,\ D/4=9+6=15\ ,\\\\x_{1,2}=3\pm \sqrt{15}\ \ \to \ \ \ x\in (\, 3-\sqrt{15}\ ;\, 3+\sqrt{15}\, )\\\\-1\leq x<6\ \ \to \ \ \ x\in (\, 3-\sqrt{15}\, ;\ 6\, )\\\\c)\ \ x\geq 6:\ \ |x-6|=x-6\ ,\ \ |(x+1)(x-6)|=x^2-5x-6\ ,\\\\x-6-(x^2-5x-6)-6<0\ \ ,\ \ x^2-6x+6>0\ ,\ \ D/4=9-6=3\ ,\\\\x_{1,2}=3\pm \sqrt3\ \ \to \ \ x\in (-\infty ;\, 3-\sqrt3)\cup (\, 3+\sqrt3\, ;+\infty )$

$x\geq 6\ \ \to \ \ \ x\in [\ 6\, +\infty )\\\\Otvet:\ \ x\in (-\infty \, ;\, 2-\sqrt{10}\ )\cup (3-\sqrt{15}\, ;\, +\infty \, )\ .$

Answer 2

$|x-6|-|x^2-5x-6|<6$

Преобразуем второй модуль и определим нули подмодульных выражений:

$|x-6|-|(x-6)(x+1)|<6$

Нули подмодульных выражений: $x=-1$ и $x=6$, поэтому раскрывать модуль будем на следующих промежутках:

1) $x<-1$

2) $-1\leq x\leq 6$

3) $x>6$

1) Раскрываем модуль на промежутке $x<-1$. Первый модуль раскрывается со сменой знака, второй - без смены знака:

$-(x-6)-(x^2-5x-6)<6$

$-x+6-x^2+5x+6<6$

$6-x^2+4x<0$

$x^2-4x-6>0$

Найдем корни соответствующего уравнения:

$x^2-4x-6=0$

$D_1=(-2)^2-1\cdot(-6)=10$

$x=2\pm\sqrt{10}$

Методом интервалов найдем решение неравенства:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(2+\sqrt{10} ;\ +\infty)$

Учтем условие раскрытия модуля. Для этого сравним числа $2-\sqrt{10}$ и $-1$:

$2-\sqrt{10}\ \mathrm{(x)}\ -1$

$2+1\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{10}$

$3\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{10}$

$3^2\ \mathrm{(x)}\ (\sqrt{10} )^2$

$9<10$

Значит, первое число меньше. Тогда, учитывая условие раскрытия модуля, получим:

$\boxed{x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )}$

2) Раскрываем модуль на промежутке $-1\leq x\leq 6$. Оба модуля раскрываются со сменой знака:

$-(x-6)+(x^2-5x-6)<6$

$-x+6+x^2-5x-6<6$

$x^2-6x<6$

$x^2-6x-6<0$

$D_1=(-3)^2-1\cdot(-6)=15$

$x=3\pm\sqrt{15}$

Методом интервалов найдем решение неравенства:

$x\in(3-\sqrt{15} ;\ 3+\sqrt{15} )$

Учтем условие раскрытия модуля. Сравним числа $3-\sqrt{15}$ и $-1$:

$3-\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ -1$

$3+1\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{15}$

$4\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{15}$

$4^2\ \mathrm{(x)}\ (\sqrt{15})^2$

$16>15$

Первое число больше.

Сравним числа $3+\sqrt{15}$ и $6$:

$3+\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 6$

$\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 6-3$

$\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 3$

$(\sqrt{15})^2\ \mathrm{(x)}\ 3^2$

$15>9$

Первое число больше.

Теперь, учитывая условие раскрытия модуля, получим:

$\boxed{x\in(3-\sqrt{15} ;\ 6]}$

3) Раскрываем модуль на промежутке $x>6$. Оба модуля раскрываются без смены знака:

$x-6-(x^2-5x-6)<6$

$x-6-x^2+5x+6<6$

$-x^2+6x<6$

$x^2-6x+6>0$

$D_1=(-3)^2-1\cdot6=3$

$x=3\pm\sqrt{3}$

Используя метод интервалов, запишем решение неравенства:

$x\in(-\infty;\ 3-\sqrt{3})\cup(3+\sqrt{3};\ +\infty )$

Число $3+\sqrt{3}$ меньше числа $6$.

Запишем решение, учитывая условие раскрытия модуля:

$\boxed{x\in(6;\ +\infty )}$

Итоговое решение неравенства представляет собой объединений трех промежутков:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ 6]\cup(6;\ +\infty )$

Упростив запись, получим:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ +\infty )$

Ответ: $x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ +\infty )$