Question

При каких значениях параметра a неравенство выполняется при любых значениях x. (ax^2+3x+4)/(x^2+2x+2)<5

Answer 1

$\dfrac{ax^{2} + 3x + 4}{x^{2} + 2x + 2} < 5$

$\dfrac{ax^{2} + 3x + 4}{x^{2} + 2x + 2} - 5 < 0$

$\dfrac{ax^{2} + 3x + 4 - 5(x^{2} + 2x + 2)}{x^{2} + 2x + 2} < 0$

$\dfrac{ax^{2} + 3x + 4 - 5x^{2} - 10x - 10}{x^{2} + 2x + 2} < 0$

$\dfrac{(a - 5)x^{2} - 7x - 6}{x^{2} + 2x + 2} < 0$

Неравенство вида $\dfrac{f(x)}{g(x)} < 0$ равносильно двум системам неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{f(x) < 0} \atop {g(x) > 0}} \right.$ и $\displaystyle \left \{ {{f(x) > 0} \atop {g(x) < 0}} \right.$

Тогда имеем две системы неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{(a-5)x^{2} - 7x - 6 < 0} \atop {x^{2} + 2x + 2 > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$ и $\displaystyle \left \{ {{(a-5)x^{2} - 7x - 6 > 0} \atop {x^{2} + 2x + 2 < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Рассмотрим первую систему неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{(a-5)x^{2} - 7x - 6 < 0} \atop {x^{2} + 2x + 2 > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Решим второе неравенство системы:

$x^{2} + 2x + 2 > 0$

Пересечение с осью абсцисс:

$x^{2} + 2x + 2 = 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 < 0$

Дискриминант отрицательный, значит график квадратичной функции $f(x) = x^{2} + 2x + 2$ находится над осью абсцисс и при любых $x$ больше нуля.

Тогда решением неравенства будет $x \in (-\infty; \ +\infty)$

Рассмотрим первое неравенство системы:

$(a-5)x^{2} - 7x - 6 < 0$

Поскольку следует найти значения параметра $a$, при которых $x \in (-\infty; \ +\infty)$, то для решения системы неравенств нужно, чтобы и данное неравенство имело решение $x \in (-\infty; \ +\infty)$

Если $a -5 = 0$, то есть $a = 5$, то имеем линейное неравенство:

$-7x - 6 < 0$

Решением данного неравенства будет $x \in \left(-\dfrac{6}{7} ; \ +\infty \right)$, что не удовлетворяет условию задачи.

Тогда при $a \neq 5$ решим неравенство.

Если $a < 5$, то имеем параболу с ветвями, направленными вниз, если $a > 5$, то имеем параболу с ветвями, направленными вверх.

Пересечение с осью абсцисс:

$(a-5)x^{2} - 7x - 6 = 0$

$D = (-7)^{2} - 4 \cdot (a - 5) \cdot (-6) = 49 + 24a -120 = 24a - 71$

Если $a < 5$, то данное неравенство будет иметь решение $x \in (-\infty; \ +\infty)$, если $D < 0$, то есть если $24a - 71 < 0$ или $a \in \left(-\infty; \ \dfrac{71}{24}\right)$

Если $a > 5$, то данное неравенство не может иметь решение $x \in (-\infty; \ +\infty)$

Таким образом, если $a \in \left(-\infty; \ \dfrac{71}{24}\right)$ имеем решение $x \in (-\infty; \ +\infty)$

Рассмотрим вторую систему неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{(a-5)x^{2} - 7x - 6 > 0} \atop {x^{2} + 2x + 2 < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Решим второе неравенство системы:

$x^{2} + 2x + 2 < 0$

Пересечение с осью абсцисс:

$x^{2} + 2x + 2 = 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 < 0$

Если дискриминант отрицательный, то квадратичная функция $f(x) = x^{2} + 2x + 2$ никогда не будет меньше нуля.

Тогда решением неравенства будет $x \in \varnothing$

Тогда общим решением системы неравенств будет $x \in \varnothing$, независимо от значений параметра $a$

Ответ: $a \in \left(-\infty; \ \dfrac{71}{24}\right)$