Question

Пусть f(x) = l a - 4 | х² + 4х + а - 5. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение f(x) = 0 имеет ровно различных 2 решения, причем каждое из этих
решений не превосходит единицы.​

Answer 1

Пусть $x_{1},\; x_{2}$ — решения уравнения $f(x)=0$. По условию $\left \{ {{x_{1}-1\leq 0 } \atop {x_{2}-1\leq 0 }} \right.$. Можно сделать замену: $x-1=u \Leftrightarrow x=u+1$ и рассмотреть функцию $f(u+1)$. Переформулируем условие: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(u+1)=0$ имеет два различных неположительных решения.

$f(u+1)=|a-4|(u+1)^2+4(u+1)+a-5$, после преобразований получим $f(u+1)=|a-4|u^2+u(2|a-4|+4)+|a-4|+a-1$. Необходимым и достаточным условием неположительности решений явлется неположительность суммы и неотрицательность произведения корней. Применяя теорему Виета, переходим к системе: $\left \{ {{-\frac{2|a-4|+4}{|a-4|}\leq 0 } \atop {\frac{|a-4|+a-1}{|a-4|}\geq 0 }} \right.$. Сразу заметим, что $a=4$ не подходит, так как дает уравнение с не более чем одним решением. Система эквивалентна следующей: $\left \{ {{2|a-4|+4\geq 0 } \atop {|a-4|+a-1\geq 0 }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a\in\mathbb{R}} \atop {a\in\mathbb{R}}} \right. \Leftrightarrow a\in\mathbb{R}$ (1)

Теперь нужно наличие двух различных решений. Здесь удобно вернутся к изначальному уравнению (так как мы просто двигали параболу горизонтально). $\Delta=16-4|a-4|(a-5)>0 \Rightarrow |a-4|(a-5)<4$, это неравенство эквивалентно системе: $\left \{ {{(a-4)(a-5)<4} \atop {a>4} } \right.\;\textbf{or}\; \left \{ {{(a-4)(a-5)>-4} \atop {a<4}} \right. \Leftrightarrow a\in(-\infty,\; 4)\cup(4,\; \frac{9+\sqrt{17}}{2})$ (2).

Пересекая (1) с (2) получим ответ.

Ответ: $a\in(-\infty,\; 4)\cup(4,\; \frac{9+\sqrt{17}}{2})$